¿Por qué no es posible dibujar el triángulo $DEF$ con $EF=5.5cm$,$\angle E=75^0$ y $DE-DF=1.5cm$?(He utilizado este método para la construcción de edificios-http://gradestack.com/CBSE-Class-9th-Complete/Construction/Construction-of-a/14905-2953-4044-study-wtw)
Pude ver que sigue todos los triángulos de las desigualdades que yo pudiera hacer.Así que, ¿por qué es este triángulo no es posible dibujar?
Deje $DF=x$. A continuación,$DE=x+1.5$. Por el coseno de la regla, $$x^2=(x+1.5)^2+(5.5)^2-2(5.5)(x+1.5)\cos75^\circ\ .$$ Si expande, el $x^2$ gotas que hace que sea muy fácil encontrar a $x$. Sin embargo, el valor de $x$ es negativo, lo cual no tiene sentido para este problema. Así que no hay solución.
Hay un montón de triángulos que pueden ser etiquetados $\triangle DEF$ con $EF=5.5$$DE−DF=1.5$. Todos ellos satisfacen las desigualdades de los triángulos $DE + EF \leq DF$, $EF + DF\leq DE$, y $FD + DE \leq EF$. Pero cada uno de los triángulos que ha menos de un $75$-ángulo de $\angle DEF$.
La construcción a la que usted se refiere se muestra por qué no dicho triángulo puede existir. En orden para $DE−DF=1.5$, debe haber un punto de $P$ sobre la línea de entre el $D$ $E$ tal que $DP = DF$$EP=1.5$. La construcción por lo tanto le dice a usted para construir el rayo $ED$ tal que $\angle DEF$ $75$ grados, y construir el punto deseado $P$ en que ray a distancia$1.5$$E$.
Hacer eso. Ahora, considere el triángulo rectángulo que se obtiene al la caída de una perpendicular de $F$ a la línea de $DE$. Vamos a la intersección de la perpendicular con $DE$ ser el punto de $Q$ por lo $\angle EQF$ es el ángulo recto en $\triangle EQF$. Aplicar la definición de coseno para encontrar la longitud de la $EQ$: esto dice $$EQ = 5.5 \cos(75^\circ) = 5.5 \times \frac14(\sqrt6 - \sqrt2) \aprox 1.4235.$$ Aviso que esto es menos de $1.5$, lo que implica que $Q$ entre $E$ y $P$, lo que implica que $\triangle EPF$ es aguda, que implica que $\angle FPD$ es obtuso.
Pero usted necesita $\triangle PDF$ a de un triangulo isoceles (que $DP = DF$). No se puede tener cualquier obtuso. Así que no solo esta construcción fallar, sabemos que ninguna construcción de un triángulo, posiblemente, puede tener éxito.
De manera más general, la condición para ser capaces de construir un triángulo $\triangle ABC$ con $BC= a$, $AB-AC = d$, y $\angle ABC = \theta$ es que $AB-AC < a \cos \theta$, debido a que cuando se pone un punto de $X$ a distancia $d$ $B$ en la dirección de $A$, el ángulo interno en $X$ en el triángulo $\triangle BXC$ debe ser obtuso de modo que el exterior del ángulo en $X$ puede ser uno de los la base de los ángulos de un triangulo isoceles.
Sugerencia de La Ley de los Cosenos da que $$|DE|^2 + |EF|^2 - 2 |DE| |EF| \cos E = |DF|^2 .$$ Sabemos que $|EF| = \frac{11}{2}$, $|DE| = |DF| + \frac{3}{2}$, y sustituyendo estos valores y la simplificación da un lineal de la ecuación de $|DF|$.
La ecuación resultante es $$(3 - 11 \cos 75^{\circ}) |DF| = \tfrac{33}{2} \cos 75^{\circ} - \tfrac{65}{2} .$$ The coefficient on the l.h.s. is positive but the constant on the r.h.s. is negative, so the only solution is negative, but $|DF|$ es una longitud y por lo tanto no puede ser negativo.
Usted incluso no necesita para resolver esto si usted está buscando una respuesta o una manera intuitiva. Si el triángulo de la desigualdad se satisface siempre se puede dibujar un triángulo a menos que haya alguna restricción adicional en las longitudes. En este caso, $DE - DF = 1.5\mathrm{cm}$ es necesario que plantea un problema como se ha demostrado en algunas personas por encima. En este caso el valor no puede cruzar un límite superior, el cual es de menos de 1,5 cm :)
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