Preimagen de un conjunto compacto

Question

Si $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es continua, es la preimagen $f^{-1}([0,1])$ ¿también compacto?

Intento comprobar las dos condiciones de que esté cerrado y acotado. Sé cómo demostrar que es cerrado, pero no sé cómo demostrar que es acotado. ¿Puedo decir que el dominio no está acotado porque es $\mathbb{R}^n$ ?

Answer 1

En general, no. La imagen previa está cerrada porque $f$ es continua. Pero no tiene por qué estar acotada. El ejemplo más sencillo es dejar que $f(x,y)=0$ para todos $x, y.$ Entonces $\{0\}$ es compacto y $f^{-1}\{0\}=\mathbb R^2.$

Answer 2

No es cierto. Ni siquiera para $\mathbb R $ a $\mathbb R$ . Considere $\sin(x)$

Answer 3

$f(x_1, ... ,x_n) = \sin(5x_1)$ es un ejemplo de $f$ con preimagen ilimitada de $f([0,1])$ .

Answer 4

Cuando decimos que una función está acotada, significa para cada elemento del dominio de la función su valor siempre se encuentra entre dos números, los límites. Si el dominio no está acotado, obtenemos una función que asigna un conjunto no acotado a un conjunto acotado.

Ahora invirtiendo el punto de vista para esta función podemos decir que la preimagen de un conjunto acotado es un conjunto no acotado.

Eso es lo que consigue la respuesta de kotomord más arriba. Tomemos una función acotada bien conocida, como la función seno, y compongámosla con la función $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mapsto x_1$ .

Escribir $v$ para un elemento de su dominio también podemos ver que $v\mapsto \frac1{1+\|v\|}\|v\|$ es también una de estas funciones (en este caso $\|v\|$ significa la longitud del vector $v$ ).