Si satisface a $(x,y)$ $x^2+y^2-4x+2y+1=0$ entonces la expresión $x^2+y^2-10x-6y+34$ no puede ser igual a

Question

Si satisface a $(x,y)$ $x^2+y^2-4x+2y+1=0$ entonces la expresión $x^2+y^2-10x-6y+34$ no puede ser igual a

$(A)\frac{1}{2}\hspace{1cm}(B)8\hspace{1cm}(C)2\hspace{1cm}(D)3$

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satisface a $(x,y)$ $x^2+y^2-4x+2y+1=0$

satisface a $(x,y)$ $(x-2)^2+(y+1)^2=2^2$

Puede escribirse la expresión $x^2+y^2-10x-6y+34$ $(x-5)^2+(y-3)^2$

Pero no sé cómo solucionarlo más. Por favor ayuda.

Answer 1

Ya que ha simplificado la ecuación dada como $(x-2)^2+(y+1)^2=2^2$, luego tomar el parámetro $\theta$, $x=2+2\cos\theta$ y $y=-1+2\sin\theta$.

Como $\theta$ varía, se puede ver claramente que el punto $(x,y)=(2+2\cos\theta,-1+2\sin\theta)$ es en el círculo $(x-2)^2+(y+1)^2=2^2.$

Ahora uso esta parametrización en $x^2+y^2-10x-6y+34$.

Así empezamos

$(2+2\cos\theta)^2+(-1+2\sin\theta)^2-10(2+2\cos\theta)-6(-1+2\sin\theta)+34$ $=29-(12\cos\theta+16\sin\theta)$

Ahora uso el resultado $-\sqrt {a^2+b^2} \le a\cos\theta+b\sin\theta \le \sqrt{a^2+b^2}$.

Por lo tanto $-\sqrt{12^2+16^2} \le 12\cos\theta+16\sin\theta \le \sqrt{12^2+16^2}$ $\Rightarrow -20 \le 12\cos\theta+16\sin\theta \le 20$

$\Rightarrow 29-20 \le x^2+y^2-10-6y+34 \le 29+20$

$\Rightarrow 9 \le x^2+y^2-10x-6y+34 \le 49.$

Por lo tanto todas las opciones dadas son correctas.

Answer 2

Como nota, la restricción es

$$(x-2)^2+(y+1)^2=2^2$$

Eso significa que la distancia de un punto a a $P(x,y)$ hasta el punto de $A(2,-1)$, $AP$, es $2$.

Como también se nota, la función es

$$f(x,y)=(x-5)^2+(y-3)^2$$

que es el cuadrado de la distancia del punto de $P(x,y)$ a punto de $B(5,3)$, $PB$. Tenga en cuenta que la distancia de un punto a a $A(2,-1)$ a punto de $B(5,3)$, $AB$, es

$$AB=\sqrt{(5-2)^2+(3--1)^2}=5$$

Para encontrar los límites en que la distancia utilizamos el triángulo de las desigualdades

$$|AB-AP| \le PB \le AB+AP$$ o $$|5-2| \le PB \le 5+2$$ $$3 \le PB \le 7$$

De modo que el cuadrado de la distancia PB, o el valor de la función, se extiende entre el $9$$49$. Ninguna de las múltiples opciones que están en ese rango, por lo que ninguna de las opciones dadas puede ser correcta.

Answer 3

Dos círculos tienen al menos un punto en común sólo si la distancia entre sus centros es igual a o menor que la suma de sus radios.

Todo lo que necesitas hacer es reescribir ecuaciones como círculos, extraer el centro, el radio de cada círculo y compruebe.

$$(x-2)^2+(y+1)^2=4, a_{0}=2, b_{0}=-1, r_{0}=2$$

$$(x-5)^2+(y-3)^2=\frac{1}{2}, a_{1}=5, b_{1}=3, r_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$(x-5)^2+(y-3)^2=8, a_{2}=5, b_{2}=3, r_{2}=2\sqrt{2}$$ $$(x-5)^2+(y-3)^2=2, a_{3}=5, b_{3}=3, r_{3}=\sqrt{2}$$ $$(x-5)^2+(y-3)^2=3, a_{4}=5, b_{4}=3, r_{4}=\sqrt{3}$$

Por ejemplo, usted necesita demostrar:

$$\sqrt{(5-2)^2+(3+1)^2}=5>2+\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$5>2+2\sqrt{2}$$ $$5>2+\sqrt{2}$$

$$5>2+\sqrt{3}$$

Todas ellas bastante obvias.