Calcular

Question

Calcular

$$\lim_{n\to \infty} \frac{\displaystyle \frac{2}{1}+\frac{3^2}{2}+\frac{4^3}{3^2}+...+\frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}}{n^2}$$

He metí con esta tarea durante bastante tiempo ahora, pero yo no he tenido éxito para encontrar la solución sin embargo.

¡Se agradece la ayuda!

Answer 1

Queremos calcular: %#% $ de #% está convergiendo en la secuencia indicada en $$ \color{red}{L}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k\cdot\left(1+\frac{1}{k}\right)^k.$ $a_k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k $, por lo tanto convergente $e$ $ $$ b_k = \frac{k a_k + (k-1) a_{k-1} + \ldots + 2 a_2 + a_1}{k+(k-1)+\ldots+2+1} $, también de Cesàro. Desde $e$, se deduce que: $k+(k-1)+\ldots+1 = \frac{k(k+1)}{2}$ $

Answer 2

La combinación de $$\frac{1}{1-1/n}>1+\frac1n \ \ \ n>1 $$ with the fact that for all positive $n$ we have $$ \left(1+\frac1n\right)^n<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}, $$ and after rewriting your sequence $a_n$ as $\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k (1 + 1/k) ^k$, we find the general term $s_k$ of the sum satisfies $$k\left(e-\frac ek\right)<s_k<ke$$. Thus $$\frac{e}{2} \leftarrow \frac{e}{2}\frac{n(n+1)}{n^2} - \frac{e}{n} =\frac{e}{n^2} \sum_{k=1}^n(k-1)<a_n< \frac{e}{n^2} \sum_{k=1}^n k=\frac e2 \frac{n(n+1)}{n^2} \to \frac e2,$$ and by the squeeze theorem we conclude $\lim\limits_ {n\to\infty} a_n = \displaystyle\frac e2$.