Divisibilidad por 37 .

Question

Que la suma de dos números de tres cifras sea divisible por 37. Demuestra que el número de seis cifras que se obtiene al concatenar las cifras de dichos números también es divisible por 37.

$\overline {abc}$ + $\overline {def}$ es divisible por 37. Demuestra que $$\overline{abcdef}$$ es divisible por 37.

$$\overline {abc} = 100a + 10b + c$$ $$\overline {def} = 100d + 10e + f$$ entonces tenemos $$\overline {abc}+ \overline {def} = 100a + 10b + c + 100d + 10e + f = 100(a+d) + 10(b+e) + c + f$$ Y estoy atascado aquí. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

$$\overline{abcdef}=1000\cdot \overline {abc}+\overline {def}$$ $$=999\overline {abc}+\overline {abc}+\overline {def}$$ $$=(37\cdot 27 \cdot \overline {abc})+(\overline {abc}+\overline {def})$$

Espero que esto ayude.

Answer 2

Dejemos que $x$ denotan $\overline{abc}$ .

Dejemos que $y$ denotan $\overline{def}$ .

Por lo tanto, $1000x+y=\overline{abcdef}$ .

Entonces $\color\red{x+y=37n}\implies1000x+y=999x+\color\red{x+y}=999x+\color\red{37n}=37(27x+n)$ .

Answer 3

Tenga en cuenta, ya que $\overline {abc}+\overline{def}$ es divisible por $37$ por lo tanto, $$(100a+10b+c)+(100d+10e+f)=37\lambda$$ o $$100d+10e+f=37\lambda-(100a+10b+c)\tag 1$$ donde, $\lambda$ es un número entero

Ahora, uno debería tener el número concatenado como $$\color{blue}{\overline{abcdef}}=100000a+10000b+1000c+100d+10e+f$$ $$=1000(100a+10b+c)+100d+10e+f$$ valor de ajuste de (1), $$=1000(100a+10b+c)+37\lambda-(100a+10b+c)$$ $$=999(100a+10b+c)+37\lambda$$ $$=37(2700a+270b+27c+\lambda)$$ desde, $(2700a+270b+27c+\lambda)$ es un número entero, $37(2700a+270b+27c+\lambda)$ es divisible por $37$ es decir $\color{red}{\overline{abcdef}}$ es divisible por $\color{red}{37}$

Answer 4

Desde $37 \mid 111$ entonces $37 \mid 999$ . Por lo tanto, para números realmente grandes, primero hay que expulsar $999s$ hasta que consigas un $3$ o un número de menos dígitos. A continuación, comprueba si ese número es divisible por $37$ .

Ejemplo: $N = 285566$ .

$285566 \to 285 + 566 = 851 \to |851 - 888| = 37$

Por lo tanto, $37 \mid 285566$