Inspirado por esta pregunta reciente Quiero demostrar que si $a, b, d$ son números enteros tales que $a$ y $b$ son coprimos a $d$ , $d > 1$ y $a^n \equiv b^n \pmod{d^n}$ por cada $n = 1, 2, 3, \ldots$ entonces sí $a = b$ . Creo que esto debe ser un corolario de algún resultado importante de la teoría numérica elemental, pero no puedo encontrar tal resultado ahora mismo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Un posible resultado importante es el llamado ' Levantamiento del lema del exponente ', como escribí en mi respuesta a esa otra pregunta. En realidad es una colección de lemas. Los repetiré, ya que se encuentran en el enlace anterior.
Utilizamos la notación $\nu_p(n)$ para el exponente de $p$ (posiblemente $0$ ) en la factorización primaria de $n$ .
Teorema 1. Dejemos que $x$ y $y$ sean números enteros (no necesariamente positivos), y que $n$ sea un número entero positivo, y que $p$ sea un primo impar tal que $p\mid x-y$ y ninguno de $x$ y $y$ es divisible por $p$ . Tenemos $\nu_p(x^n-y^n)=\nu_p(x-y)+\nu_p(n)$ .
El teorema 2 es una forma análoga para $x^n+y^n$ y $n$ impar, que se deduce fácilmente.
Hay dos resultados para el caso $p=2$ .
Teorema 3. Dejemos que $x$ y $y$ sean dos enteros Impares tales que $4\mid x-y$ . Entonces $\nu_2(x^n-y^n)=\nu_2(x-y)+\nu_2(n)$ .
y
Teorema 4. Dejemos que $x$ y $y$ sean dos enteros Impares y que $n$ sea un número entero positivo par. Entonces $\nu_2(x^n-y^n)=\nu_2(x^2-y^2)+\nu_2(n)-1$ .
Estos resultados resultan útiles en varios problemas de teoría de números, y vale la pena memorizarlos.
Desde $n=1$ tenemos $a=b+dk$ para algún número entero $k$ . Ahora tenemos $$d^n|(a^n-b^n)=(b+dk)^n-b^n$$
Por lo tanto, $(\frac{b}{d}+k)^n-(\frac{b}{d})^n\in\mathbb{Z}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . También debemos tener $\frac{b}{d}\notin \mathbb{Z}$ desde $\gcd(b,d)=1$ . El resultado se desprende ahora de la pregunta que has enlazado.