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$a^n \equiv b^n \pmod{d^n}$ por cada $n \in \mathbb{N}$ implica $a = b$

Inspirado por esta pregunta reciente Quiero demostrar que si $a, b, d$ son números enteros tales que $a$ y $b$ son coprimos a $d$ , $d > 1$ y $a^n \equiv b^n \pmod{d^n}$ por cada $n = 1, 2, 3, \ldots$ entonces sí $a = b$ . Creo que esto debe ser un corolario de algún resultado importante de la teoría numérica elemental, pero no puedo encontrar tal resultado ahora mismo.

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barto Puntos 6296

Un posible resultado importante es el llamado ' Levantamiento del lema del exponente ', como escribí en mi respuesta a esa otra pregunta. En realidad es una colección de lemas. Los repetiré, ya que se encuentran en el enlace anterior.

Utilizamos la notación $\nu_p(n)$ para el exponente de $p$ (posiblemente $0$ ) en la factorización primaria de $n$ .

Teorema 1. Dejemos que $x$ y $y$ sean números enteros (no necesariamente positivos), y que $n$ sea un número entero positivo, y que $p$ sea un primo impar tal que $p\mid x-y$ y ninguno de $x$ y $y$ es divisible por $p$ . Tenemos $\nu_p(x^n-y^n)=\nu_p(x-y)+\nu_p(n)$ .

El teorema 2 es una forma análoga para $x^n+y^n$ y $n$ impar, que se deduce fácilmente.

Hay dos resultados para el caso $p=2$ .

Teorema 3. Dejemos que $x$ y $y$ sean dos enteros Impares tales que $4\mid x-y$ . Entonces $\nu_2(x^n-y^n)=\nu_2(x-y)+\nu_2(n)$ .

y

Teorema 4. Dejemos que $x$ y $y$ sean dos enteros Impares y que $n$ sea un número entero positivo par. Entonces $\nu_2(x^n-y^n)=\nu_2(x^2-y^2)+\nu_2(n)-1$ .

Estos resultados resultan útiles en varios problemas de teoría de números, y vale la pena memorizarlos.

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vadim123 Puntos 54128

Desde $n=1$ tenemos $a=b+dk$ para algún número entero $k$ . Ahora tenemos $$d^n|(a^n-b^n)=(b+dk)^n-b^n$$

Por lo tanto, $(\frac{b}{d}+k)^n-(\frac{b}{d})^n\in\mathbb{Z}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . También debemos tener $\frac{b}{d}\notin \mathbb{Z}$ desde $\gcd(b,d)=1$ . El resultado se desprende ahora de la pregunta que has enlazado.

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