Si el límite de $f(x)$ existe y el límite de $f(x)g(x)$ existe, entonces el límite de $g(x)$ ¿Existe?

Question

Estaba preparando un examen y me quedé atascado en éste. ¿Cuál es la idea detrás de esta pregunta?

Si $ \lim_ {x \to a}f(x)$ y $ \lim_ {x \to a} [f(x)g(x)]$ existe entonces $ \lim_ {x \to a}g(x)$ ¿Existe?

Gracias

Answer 1

Considere $f(x)=x^2$ y $g(x)= \frac1x $ y dejar $x \to0 $ .

Answer 2

Hay un teorema, se llama el teorema del límite aritmético, creo, y es así:

Si $ \lim_ {x \to a}f(x) = L$ y $ \lim_ {x \to a}g(x) = K$ entonces $ \lim_ {x \to a}f(x)g(x) = KL$ .

La afirmación en su pregunta es una especie de reversa de esto y el punto es probablemente hacer que usted resuelva si realmente se sostiene o no.

Aunque la OP no está pidiendo una pista o una solución del problema:

Pista : Intenta encontrar un contra-ejemplo. Si no se te ocurre ninguno, házmelo saber y añadiré uno a esta respuesta.

Answer 3

En general, la respuesta es NO .

---

Pero hay un caso trivial en el que esto es cierto, es decir, cuando $ \lim_ {n \rightarrow a}{f(x)}$ existe y no es cero.

Un bosquejo de la prueba es el siguiente. Sabemos que si $ \lim\limits_ {x \rightarrow a}{y(x)}=a$ y $ \lim\limits_ {x \rightarrow a}{w(x)}=b$ entonces $ \lim\limits_ {x \rightarrow a}{ \left (y(x) \times w(x) \right )}=ab$

Aquí reemplazaremos $y(x)= \frac {1}{f(x)}$ y $w(x)=f(x)g(x)$ para llegar a tal prueba.

---

Nuestra prueba anterior ayuda a la tarea de encontrar un contra-ejemplo más fácil. Podemos saltarnos todos los casos $f(x)$ tiene un límite que no es cero, la reformulación se limita al caso en que $f(x)$ tiene un límite cero!. Una de esas funciones es $f(x)=x^2$ y $g(x)= \frac {1}{x}$ en $a=0$ comprueba por ti mismo si $g(x)$ tiene un límite.

Pero esto no significa que si $f(x)$ tiene un límite $0$ entonces, $g(x)$ simplemente no puede tener un límite .

Un caso interesante de esto es cuando $ \lim\limits_ {x \rightarrow a}{f(x)}=0$ , $ \lim\limits_ {x \rightarrow a}{f(x)g(x)}$ existe y $ \lim\limits_ {x \rightarrow a}{ \frac1 {f(x)}}= \infty $ . En este caso podemos probar que $ \lim\limits_ {x \rightarrow a}{g(x)}$ existen . Esta pregunta tiene una respuesta aquí .