Hallar el valor de $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{2^{k}}{2^{2^{k}}+1}$

Question

¿Esta suma ponderada de los recíprocos de los números de Fermat,

$$ F=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{2^{k}}{2^{2^{k}}+1} $$

tiene una agradable forma cerrada? Wolfram dice que es $1$.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia:

Trate de averiguar y probar una fórmula para las sumas parciales $$ S(n)=\sum_{k=0}^n\frac{2^k}{2^{2^k}+1}. $$ Aquí $$ S(0)=\frac13,\ S(1)=\frac{11}{15},\ S(2)=\frac{247}{255},\ldots $$ Ver un patrón de $1-S(n)$?

Answer 2

Esta podría ser otra manera de mirar, Jyrki de la pista, pero aquí es la forma en que hice este: $$ \begin{align} \color{#C0C0C0}{1-\frac1{2-1}+}\frac1{2+1}&=1-\frac2{4-1}\\ 1-\frac{2}{4-1}+\frac{2}{4+1}&=1-\frac{4}{16-1}\\ 1-\frac{4}{16-1}+\frac{4}{16+1}&=1-\frac8{256-1}\\ 1-\frac8{256-1}+\frac8{256+1}&=1-\frac{16}{65536-1}\\ &\vdots \end{align} $$

Answer 3

Uso de la identidad $$\frac{1}{t+1} = \frac{1}{t-1} - \frac{2}{t^2 -1}.$$