Funciones lineales y las intersecciones de subespacios nulas

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial de dimensión finita $n$ sobre el campo de $K$. Deje $\phi, \psi$ ser de dos dos-cero funcionales en $V$. Suponga que no hay ningún elemento no nulo $c \in K$ tal que $\psi= c \phi$. Mostrar que $\ker \phi \cap \ker \psi$ tiene dimensión $n -2$.

Hay una coordenada-argumento basado sé, que yo no escribo por aquí, pero no me gustan estos, ya que son un poco difíciles de generalizar a otras situaciones. Si usted tiene una mejor coordinar libre argumento puede compartir.

Aquí está mi coordinar libre de argumento:

Definir $f: V \rightarrow K \times K: f(v) = (\phi (v), \psi (v))$. A continuación, $f$ no es cero, puesto que tanto $\phi$ $\psi$ no lo son y también la dimensión de la $f(V)$ no puede ser $1$ ya que no existe el no-cero $c$ tal que $\psi = c\phi$. Por lo tanto, $\dim f(V) = 2$$ \ker f = \ker \phi \cap \ker \psi $, de modo que por el Rango-Nulidad Teorema obtenemos el resultado.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\ker \phi \cup \ker \psi\subseteq V$ así $\dim (\ker\phi \cup \ker \psi)\leq n$ así\begin{align} \dim (\ker\phi \cup \ker \psi)&=\dim (\ker\phi) +\dim (\ker \psi)-\dim(\ker \phi \cap \ker\psi )\\ & = n-1+n-1-\dim(\ker \phi \cap \ker\psi )\leq n \end {Alinee el} así $\color{red}{\dim(\ker \phi \cap \ker\psi )\geq n-2}$ y desde $\phi\neq c\psi ~\forall c$ así $\ker\phi\not\subseteq\ker\psi$(below link) por lo tanto, $$\ker \phi \cap \ker\psi\subset \ker\phi\Rightarrow \dim(\ker \phi \cap \ker\psi )<\dim\ker\psi=n-1$$Thus $\color{red}{\dim (\ker \phi \cap \ker\psi) n-2 \leq} $

Que $f,g\in V^*$ y $g \neq 0$ de asumir. Mostrar que $f= ag$ $a \in F$ iff $Ker(g) \subseteq Ker(f)$.

Answer 2

Yo usaría el teorema con respecto a la dimensión de la suma y la intersección de espacios vectoriales: para subespacios de $M,N$ $V$, usted tiene $$\dim (M+N) +\dim (M \cap N ) = \dim (M) + \dim(N).$$ And apply it with $M = \ker \psi, N = \ker N$. You have $\dim(M+N) = n$ due to the hypothesis on $\psi,\phi$.