Encontrar a la coincidencia más cercana en una secuencia "de oro" de puntos

Question

Yo no soy un matemático, y correcciones son bienvenidas (incluidas las etiquetas).

Antecedentes:

Durante los últimos días, he estado interesado en el problema de la colocación de puntos a lo largo de un segmento de línea (de longitud $1$, por simplicidad), de tal manera que no importa cuántos puntos se agregan, los puntos son todavía relativamente espaciados de manera uniforme.

Esto es un poco vago, así que echemos un vistazo a una secuencia específica basada en la proporción áurea, que parece encajar con la descripción:

$$p_n = \left\{n\phi\right\}$$

Por $\{\cdot\}$, me refiero a la parte fraccionaria de la función. Aquí está un ejemplo de cómo esta secuencia es interesante (columna central).

La pregunta:

Dada la secuencia definida por encima de la longitud de la $s$ y un elegido libremente punto de $x$$0$$1$, ¿cómo puedo encontrar el punto de $p_n$ más cercano a $x$ donde $n \leq s$?

Answer 1

Tomar el mayor número de Fibonacci $F_m\le s$. Encontrar la fracción más cercana $k/F_m$ $x$. Considerar el % de números $n_p=[(-1)^m F_{m-1}(k+p)]\mod F_m$y $n'_p=F_m+n_p$ (si éste está en el rango admisible) con entero $p\in[-4,4]$ (esto debe ser bastante y soy demasiado perezoso para comprobar si lo podemos hacer $[-3,3]$ o incluso $[-2,2]$). Ahora sólo comparar los resultados para estos 18 valores y elegir el mejor. La razón es que el $\varphi-\frac{F_{m+1}}{F_m}$ es tan pequeño que $n\varphi-n\frac{F{m+1}}{F_m}$ no es mucho mayor que $1/F_m$ % todos $n\le s$.