Entre número y número de la intersección

Question

Que $\Sigma$ ser una superficie lisa compacta en $\mathbb{R}^3$ (por simplicidad). Si está vinculado un curva cerrada $\gamma$ $\partial \Sigma$ enlace número $n$ (mod 2) $\gamma$ (genéricamente) debe intersectarse $\Sigma$ en $n$ puntos (mod 2). ¿Qué es la derecha topológica maquinaria uno tiene que demostrar esto?

Answer 1

La respuesta corta es la teoría de la homología y la dualidad de Poincaré! También como un comentario, la intersección número exactamente igual a la vinculación de número si se tiene en cuenta las intersecciones con el signo apropiado.

Deje $L=L_1\cup L_2$ ser un vínculo de dos componentes. A continuación, considere la posibilidad de $L_1$ como una homología de clase dentro de $H_1(\mathbb R^3\setminus L_2)\cong \mathbb Z$. Este número entero es el número de vinculación. Esto es esencialmente equivalente a la definición que dan en términos de la intersección de número. Esto es debido a que $H_2(\mathbb R^3\setminus n(L_2),\partial n(L_2))\cong \mathbb Z$, y hay un emparejamiento bilineal $$H_1(\mathbb R^3\setminus L_2)\otimes H_2(\mathbb R^3\setminus n(L_2),\partial n(L_2))\to\mathbb Z$$ given by intersection number. In particular, a meridian to $L_2$ intersects a surface $\Sigma$ bounding $L_2$ in a point, so that a way to read off how many multiples of the meridian you are homologous to is to check your intersection number with $\Sigma$. Here $n(L_2)$ is a tubular neighborhood of $L_2$ con el toro de la frontera. (La intersección de emparejamiento está estrechamente relacionado con la dualidad de Poincaré, para responder a su pregunta original de lo que la maquinaria es necesaria para probar esto.)

La siguiente pregunta es ¿por qué la clase de $L_1$ dentro $H_1(\mathbb R^3\setminus L_2)$ es igual a la vinculación de número. Una forma de ver esto es que usted puede desenredar $L_1$ $L_2$ al hacer el cruce de los cambios, que corresponden a sumar o restar múltiplos de el meridiano de la homología de la clase representada por $L_1$. Esto es equivalente, si lo piensas un poco, a la definición habitual de la vinculación como contar el número de cruces con signo. Os dejo los detalles para usted.