Me doy cuenta de que la serie de Maclaurin es una forma especial de la serie de Taylor en la serie se centra en $x=0$, pero tengo que preguntarme ¿qué es especial acerca de lo que merece su propia designación especial? En este punto, ¿cómo usted sabe (o cuidado) que punto a elegir como centro de una serie de Taylor?
Respuestas
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Ampliando el comentario anterior, la idea es que nos gusta mucho la expresión
$$ \sum_{k=0}^\infty a_k z^k, $$ simply because it is easy to manipulate and involves less writing than a series with powers of $(z-a)$. So a lot of the time we like to shift our function so that the "point of interest" is simply $0$ (matemáticos tratar de ser eficiente, supongo).
Por lo general se expande en una serie de Taylor (o, más en general, una Laurent de la Serie) sobre el punto de $z=a$ a investigar el comportamiento de $f$ cerca de $a$. Es $f$ portado bien, o no volar? Puede calcularse utilizando polinomios? Si es así, ¿qué tan buena es esta aproximación y a qué distancia de la $a$ va a sostener? Esta tercera pregunta es la base de muchos de los clásicos de análisis numérico algoritmos, incluyendo numérico de la diferenciación y la integración, así como los métodos de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias.
El análisis de estos métodos se basa en gran medida en series de Taylor - por ejemplo, digamos que estamos en $x=a$ y se desea aproximar el valor de la función $f$$a+h$, un poco de distancia. La serie de Taylor alrededor de $x=a$ lee:
$$ f(x)=f(a)+f^\prime(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2}(x-a)^2+O((x-a)^3) $$ where the "big-O-$(x-a)^3$" means a quantity that grows as a constant multiple of $(x-a)^3$. If we evaluate this Taylor approximation at $x=a+h$, llegamos a la bonita, simple expresión
$$ f(a+h)=f(a)+hf^\prime(a)+\frac{h^2}{2}f^{\prime\prime}(a)+O(h^3) $$ This says that if we know the value of the function and its first and second derivatives at $x=a$, we can approximate the value of $f$ at $+%h $ to an accuracy of $h$-cubed. So, for instance, if $h=0.1$, our approximation will only be off by a constant multiple of $0.001$. (This constant, incidentally, will depend on how bad the third derivative is near $$).
Por supuesto, sólo estoy utilizando este "numérica" idea como un ejemplo de por qué podría ampliar la serie de Taylor en un lugar distinto de 0 - la idea tiene un montón de otros usos.
Bryan Roth
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Creo que en series de Taylor de las expansiones de alrededor de cero no son tan especiales, así como para merecer su propio nombre, y de hecho, cuando yo enseño este material yo no uso el término "serie de Maclaurin" (excepto para advertir a los estudiantes a pasar de que otros pueden utilizar el término). En esta parte del cálculo de los estudiantes ya un montón de cosas para memorizar, como muchos de disco duro-a-mantener-distinta de la convergencia de las pruebas.
A partir de un puro y duro perspectiva, no puede haber ningún verdaderamente distinguido expansión de una serie de Taylor. El hecho de que en muchos de los más simples estándar ejemplos de funciones elementales $0$ es un muy buen punto de expansión es un artefacto del hecho de que el sistema de coordenadas ha sido elegido para hacer de la $0$ a un distinguido punto: pensemos, por ejemplo acerca de la $\sin x, \cos x, e^x$. Tan pronto como empezamos a cambiar de un sistema de coordenadas a otro que sin duda tienen que aumentar en torno a un valor distinto de cero puntos. Esto viene, por ejemplo, en la teoría de la continuación analítica en la variable compleja caso.
En la práctica, desea expandir alrededor de un punto de $c$ de manera tal que usted está interesado en el comportamiento de la función cerca de $c$. La serie de Taylor es que no se garantiza que convergen en un punto distinto de $x = c$; si se hace converger, no se garantiza que ser igual a la función. La manera de demostrar que la serie de Taylor $T(x) = T_{f,c}(x) = f(x)$ es considerar el resto y aplicar diversas estimaciones sobre los derivados de la $f$. Estos derivados en general crecen más rápidamente a medida que se alejan demasiado de la expansión de punto.
Por ejemplo, si usted está tratando de calcular $(26.5)^{\frac{1}{3}}$ usando series de Taylor, a continuación, $c= 27$ es un buen punto de expansión: a continuación, $x =26.5$ es lo suficientemente cerca como para $c$, de modo que la convergencia de la serie es rápida, y desde $27$ es un cubo perfecto, la serie de Taylor coeficientes tendrá una especial forma simple.
Como otro ejemplo, se podría pensar acerca de la serie de Taylor de $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ en varios puntos centrales de $c$. El radio de convergencia de la serie de Taylor en $c$ $\sqrt{c^2+1}$ por razones que sólo pueden ser realmente comprendido por el pensamiento acerca de la variable compleja caso. (Por lo tanto en un cuantitativos específicos sene, $c = 0$ es el peor punto de expansión en este caso!) En un curso posterior, la elección de expansión punto está relacionado con los diversos Laurent serie de expansiones de una función de meromorphic: sin duda uno no puede salirse siempre con la expansión de alrededor de $0$!
