Cuándo tableros de ajedrez con fichas de dominó

Question

Usted probablemente ha oído hablar de los siguientes rompecabezas :

Considere la posibilidad de un 8×8 tablero de ajedrez. Retire los dos extremos cuadrados (superior-izquierda e inferior-derecha, por ejemplo). Puede rellenar el resto de tablero de ajedrez con 1×2 fichas de dominó ?

La respuesta se encuentra en un argumento para colorear. El problema, sin embargo, no utilice el hecho de que el tablero de ajedrez es de color. Me gustaría saber mejorado ejemplos de colorear problemas como este.

Por ejemplo, podría extender el problema con Tetris-como forma de L dominó y resolver usar más de dos colores ?

Answer 1

Solomon Golomb del libro Polyominoes presenta una serie de argumentos de este tipo.

Uno que recuerdo es: un cuadrado es eliminado de un 8×8 tablero de ajedrez. Puede el restante 63 plazas serán cubiertas por 21 1×3 rectángulos? La respuesta consiste en colorear el tablero de ajedrez en tres colores en la alternancia de rayas diagonales:

Esto de los colores, el 64 casillas del tablero de ajedrez con 21 cuadrados verdes, 21 de cuadrados amarillos, y el 22 de cuadros azules. Cada 1×3 rectángulo debe cubrir exactamente uno de los cuadrados de cada color. Eliminados de la plaza por lo tanto no puede ser cualquiera de los de color verde o amarillo, ni ninguna de las plazas equivalente a uno de estos bajo una rotación o reflexión de tablero de ajedrez:

(Este es de cuatro copias del primer diagrama, superpuestos, con una adecuada rotación.)

Esto elimina todos, pero de 4 plazas de la consideración, a saber, los cuatro brillantes de color azul en el diagrama anterior. Así que las únicas soluciones implican la eliminación de uno de estos cuatro cuadros azules.

Hay una serie de análogos argumentos acerca de polyhexes que dependen de un tres para colorear de una celosía hexagonal:

Por ejemplo, hay tres diferentes trihexes, que están compuestas por la unión de tres hexágonos; dos de estos están garantizados para cubrir exactamente una célula de cada color, no importa cómo se colocan.

Yo una vez perdido mucho tiempo tratando de hacer a mí mismo un conjunto de tetrominoes por por marcar un 4x5 rectángulo de corte y aparte, y me sentí bastante tonto cuando me di cuenta de que un simple tablero de ajedrez para colorear muestra que esto es imposible. Hay 5 tetrominoes por, y cuatro de ellos tienen que cubrir dos negros y dos blancos cuadrados cada uno. La 5ª es en forma de T, y debe cubrir tres cuadros negros y uno blanco (o viceversa).

Así que no tienen la posibilidad de baldosa una 4×5 rectángulo, que tiene el mismo número de cuadrados en blanco y negro.

Answer 2

Una carcoma está sentado en el centro de un cubo que se divide en $3^3$ idénticos cubelets. La carcoma puede ir desde el centro de uno cubitos al centro de la otra en cualquier dirección paralelo al borde. La carcoma le gustaría comer su camino a través del cubo que visita el centro de cada cubitos exactamente una vez. ¿Es esto posible?

Answer 3

Busqué math.SE preguntas y respuestas que involucran colorante de embaldosados y similares; aquí son dos interesantes que encontré:

Las matemáticas del Tetris

una rompecabezas de mosaico/pregunta