¿Cuáles son mis probabilidades de una Excelente Aventura?

Question

La mayoría de la Excelente Aventura es una casa de cerveza juego de rol de sistema de juego basado en la Bill & Ted Películas, juega gnarly aire riff de guitarra.

En este sistema de juego, cuando se saca de su reserva de dados que usted necesita para conectar los resultados como un número de teléfono en el teléfono de notas:

Aquí una persona que ha rodado 4, 2, 8, 3, 8, y 2, la marcación 3-2-2-4-8-8. El otro 7, 4, 6, 3, 9, y 4, sólo de la marcación por 4-4-7 o 3-6-9. Y el mayor número de victorias.

¿Cómo puedo trabajar mi oportunidad para el éxito (o la probabilidad de una cierta longitud del número de teléfono) a partir de este sistema?

He intentado enumerar la posibilidad de obtener un número de dos dígitos dependiendo del número que te salga primero (cada uno de los primeros es de $1/10$) y me sale:

1. $4/10$
2. $6/10$
3. $4/10$
4. $6/10$
5. $9/10$
6. $6/10$
7. $5/10$
8. $7/10$
9. $5/10$
10. $4/10$

Pero entonces, ¿cómo puedo seguir cada uno de los diferentes 'ruta' de las probabilidades? Me imagino el dibujo de un árbol de probabilidad con diez sucursales y hasta 12 niveles, pero que parece excesivo. Yo podría elaborar una tabla (con espacios en blanco para no telephonable combinaciones), pero esto sería difícil de seguir después de la primera tabla o algo así).

He tratado de considerar combinatrics, pero me he metido confundido acerca de nPr y la notación nCr y no obtener los números de la derecha allí. Hay una manera más fácil de calcular las probabilidades?

Answer 1

Es notable, aunque tal vez no trivial, que para casi todos los conectados conjunto de teclas del teléfono, no existe un camino Euleriano a través de los dígitos (que se puede caminar de dígitos adyacentes dígitos y llegar a todos los dígitos exactamente una vez). Por la simple repetición de varios dígitos, por lo tanto, puede marcar un número (casi) siempre que el conjunto de teclas está conectado.

Hay pocos excepción a la regla anterior:

• Si usted tiene $4, 6, 8, 0$ pero ni $2, 5, 7, 9$, no hay ningún camino Euleriano. Usted sólo puede ganar si usted tiene dos $8$s.
• Si usted tiene $1, 3, 5$ y al menos uno de $7,8,9$, pero ninguno de $2,4,6$, se da una situación similar. Usted puede necesitar (al menos) dos $5$s.
• El caso anterior gira 90° o 180° o 270° alrededor de los $5$ clave.

En resumen: Si el conjunto de teclas está conectado, tiene casi ganado. Sin embargo, para un análisis preciso, me temo tha un equipo basado en la enumeración de todas las posibilidades es la única manera de ir.

Answer 2

No estoy seguro de que esto califica como una respuesta completa a la pregunta, pero sin duda proporcionará algunas ideas útiles y la información.

Yo escribí un programa para solucionar esto se utiliza la siguiente fuerza bruta técnica.

1. Crear un Possibe_Next_Key entero establezca para cada uno de los dígitos del 0 al 9 E. g. 1 este es {1,2,4,5} la permitida siguiente pulsaciones de tecla siguiente 1
2. Hacer un Next_Key_Possible arreglo booleano basado en la Possibe_Next_Key conjuntos. Esta es una matriz 2D de la forma [From_Key,To_Key]=true|false E. g. Possible_Next_Key[0][5]=false porque no hay ningún vínculo directo a partir de la 0 a la tecla 5
3. Iterar a través de todos los $10^{6}$ permutaciones, encontrar el más largo de la secuencia ordenada de conectado números, la comprobación de la singularidad en contra de la anterior permutaciones, y por lo que la actualización de un diccionario que contiene los siguientes:- {UniqueSet, Longest_Key_Sequence, Number_Of Permutaciones}
4. Finalmente, el total de la Number_Of_Permutations para cada Longest_Key_Sequence

Y los resultados que obtengo son como sigue:

Maneras de obtener una máxima de la clave de la secuencia de tecla 1 = 0

Maneras de obtener una máxima de la clave de la secuencia de teclas 2 = 6300

Maneras de obtener una máxima de la clave de la secuencia de las teclas 3 = 76640

Maneras de obtener una máxima de la clave de la secuencia de 4 teclas = 119340

Maneras de obtener una máxima de la clave de la secuencia de 5 teclas = 168024

Maneras de obtener una máxima de la clave de la secuencia de 6 teclas = 629696

Nota - que su suma es de $10^{6}$

Así que si $P_{n}$ es la probabilidad de que la mayor número de teléfono que se pueden marcar con un rollo de 6 a 10 caras de los dados es n (siguiendo las reglas del juego) entonces

$P_{1}$ = 0

$P_{2}$ = 0.0063

$P_{3}$ = 0.07664

$P_{4}$ = 0.11934

$P_{5}$ = 0.168024

$P_{6}$ = 0.629696

Suponiendo que mi programa es correcto, lo cual creo que va a ser.