¿Puedo obtener la respuesta correcta, y si es así ¿por qué?

Question

La pregunta para encontrar la ecuación de la recta que pasa por a $(0,2)$ y tocando $y=(x+2)^{2}$ donde $x>0$

Dejo que la ecuación de la línea de gradiente $m$ por lo tanto la línea es $y=mx+2$ y para las líneas de cumplir: $$mx+2=(x+2)^{2}$$ $$\therefore x^{2}-(4+m)x+2=0$$

Yo, a continuación, deje que el discriminante igual a cero y resolver para $m$ para obtener: $$m=-4\pm\sqrt{2}$$ But $x>0$ therefore $m=-4+\sqrt{2}$

Luego me preguntó esta de por qué dejé que el discriminante igual a cero, y lo que significa esto. Entonces hice de otra manera por el nuevo dejando $mx+2=x^{2}-4x+4$ y solución de este para $x$ por sustitución en la ecuación $m=2x-4$ (sus derivados con respecto a $x$ a medida que las líneas deben tocar me di cuenta de que el gradiente en los puntos donde se hizo sería igual). Me tomó de nuevo el positivo de la raíz como $x>0$ y de nuevo consiguió $m=-4+\sqrt{2}$. Mi pregunta es, ante todo, es esto correcto y si es así ¿por qué dejar que el discriminante sea igual a cero me dan esas raíces que me estaba buscando? Gracias

Answer 1

Como @oldrinb señaló en los comentarios, ajuste el discriminante igual a cero corresponde a tener el táctil de la línea de la parábola en un solo punto. Esto es porque ellos sólo tocan una vez significa que sólo hay un valor válido para $x$ a de la ecuación de $x^{2}-(4+m)x+2=0$.