Es la serie de $\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}}{\ln{n}}$ convergente?

Question

Definir $$S_k=\sum_{n=2}^{k} \frac{(-1)^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}}{\ln{n}}$$. Es $S_k$ o $S_{4k^2}$ convergente?

Creo $S_k$ no es convergente, ya que por lo suficientemente grande como $n$, $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ va a cambiar más lentamente que para las pequeñas $n$, pero no sé cómo mostrar formalmente.

Para $S_{4k^2}$, creo que la serie es también divergente desde entonces $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ es siempre igual, por lo que consideramos $$S_{4k^2}=\sum_{n=2}^{k} \frac{1}{\ln{n}},$$ pero sabemos $1/\ln n$ es divergente, por lo $S_{4k^2}$ es divergente. Es mi razonamiento aquí, ¿correcto?

Answer 1

Informalmente hablando, en el intervalo de $n\in[A^2,A^2+2A]$ $\frac{1}{\log n}$ está muy cerca de a $\frac{1}{2\log A}$, por lo tanto, podemos esperar que: $$S_{M^2+2M}=\sum_{A=1}^{M}\sum_{n\in[A^2,A^2+2A]}\frac{(-1)^A}{\log n}\approx \sum_{A=1}^{M}\frac{(-1)^A (2A+1)}{2\log A}\tag{1}$$ pero el término general de la última suma es no $o(1)$$A\to +\infty$.

Ya que para cualquier $n\in[A^2,A^2+2A]$ tenemos: $$\frac{1}{\log A^2}-\frac{1}{\log n} = \frac{\log\frac{n}{A^2}}{\log n\log A^2}\leq\frac{\frac{2}{A}}{4\log^2 A}=\frac{1}{2A\log^2 A}$$ y $$\sum_{A=1}^{+\infty}\frac{1}{A\log^2 A}<+\infty $$ por Cauchy de la prueba de condensación, la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo de $(1)$ está acotada.

Esto demuestra que la original de la serie no es convergente.