Simple Manipulación Algebraica estoy Atascado?

Question

Por alguna razón me parece que no puede ver por qué
$$\frac{az+b}{cz+d} = \frac{bc-ad}{c^2\left(z+\frac{d}{c}\right)} + \frac{a}{c}.$$ Ha sido muchos años desde que me he tomado Álgebra I, así que cuando esto se dijo en clase, sin incluso los movimientos de manipulación, me sentía perdida. Lo siento si esta pregunta es demasiado tonto para pertenecer en el sitio.

Answer 1

De trabajo en el lado derecho, primero se multiplica a través de una $c$ a deshacerse de los compuestos de la fracción; a continuación, obtener el denominador común de las $c(zc+d)$, y hacer la suma: \begin{align*} \frac{bc-ad}{c^2\left(z+\frac{d}{c}\right)}+\frac{a}{c} &= \frac{bc-ad}{c(zc+d)} + \frac{a}{c}\\ &= \frac{bc-ad}{c(zc+d)} + \frac{a(zc+d)}{c(zc+d)}\\ &= \frac{bc-ad+a(zc+d)}{c(zc+d)}\\ &= \frac{bc-ad + azc + ad}{c(zc+d)}\\ &= \frac{bc+azc}{c(zc+d)}\\ &= \frac{c(b+az)}{c(zc+d)}\\ &= \frac{b+az}{zc+d} = \frac{az+b}{cz+d}. \end{align*} Por supuesto, esto no es realmente la dirección de cómo uno puede ir de uno a otro "mentalmente", o de cómo se puede "spot" de la igualdad. Usted probablemente está pensando, "¿Y cómo en la Tierra que nadie venga con que sobre la marcha?!"

No es una pieza de información puede que no tenga que se utiliza "en el fondo": se trata de lidiar con una transformación de Moebius, una función de $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$que es dada por $$z\longmapsto \frac{az+b}{cz+d}\qquad\mbox{with $ad-bc\neq 0$.}$$ Cualquier transformación de Moebius se puede descomponer como una composición de una traducción, una inversión, una dilatación y una traducción de una manera estándar (ver la Descomposición de la sección en la página de la Wikipedia). Tome $z$ y traducirlo por $\frac{d}{c}$, lo que le da la expresión de $z+\frac{d}{c}$. A continuación, invertir, dándole $$\frac{1}{z+\frac{d}{c}}.$$ Then you dilate by multiplying by $\frac{bc-ad}{c^2}$, para obtener $$\frac{bc-ad}{c^2\left(z+\frac{d}{c}\right)}$$ y, finalmente, se traducen por $\frac{a}{c}$ mediante la adición a la ejecución total; esto es exactamente la expresión que tiene. Si usted está acostumbrado a jugar con transformaciones de Moebius, esto es muy común descomposición, por lo que es una identidad que tendría "a su alcance". La razón para esta descomposición es que las piezas (las traducciones, de las inversiones, y dilataciones) son muy fáciles de entender, así que son particularmente buenas piezas para romper la transformación de Moebius.

Answer 2

Multiplicando por el denominador común de las $\rm\ c\ (c\:z + d)\ $ reduce el "fraccional" identidad " equivalente "integral" identidad"$\rm\ c\ (a\:z+b)\ =\ bc-ad + a\ (c\:z + d)\:,\ $, con lo cual se comprueba fácilmente.