Mostrando que $x^x/(2x)!=0$ $x$ enfoques infinito

Question

¿Cómo puedo mostrar

$$\lim_{x\to\infty} \frac{x^x}{(2x)!}=0$$

Sé $x^x$ crece más rápido de lo $(2x)!$

Así que lo voy a hacer

$$\frac{x^x}{2x(2x-1)(2x-2)(2x-3)\cdots(2x-(2x-1))}$$

Pero, ¿cómo debo proceder.

Answer 1

\begin{align} \frac{x^x}{(2x)!} & = \frac{\overbrace{x\cdots x}^{x\text{ factors}}}{\underbrace{1\cdot2\cdot3\cdots x}_{x\text{ factors}} \cdot \underbrace{(x+1) \cdot (x+2) \cdots (2x)}_{x\text{ factors}}} \\[10pt] & = \frac 1 {x!} \cdot \underbrace{\frac x {x+1} \cdot \frac x {x+2} \cdot \frac x {x+3} \cdots \frac x {x+x}}_\text{This is %#%#%.} \\[10pt] & < \frac 1 {x!} \to 0 \text{ as } x\to\infty. \end{align}

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \frac{n^n}{(2n)!}=\frac{\overbrace{n\cdot n\cdot\ldots \cdot n}^{n \text{ factors}}}{n!\cdot\underbrace{(n+1)(n+2)\ldots(2n)}_{n\text{ factors}}}\le \frac1{n!}$$

Answer 3

Asumiendo $x$ es un número entero en su pregunta (para que voy a usar $n$ en lugar de $x$, por el bien de mi propia facilidad de la mente): una forma simple, que utiliza una gran (y muy overkill) "martillo", es invocar a Stirling aproximación:

$$ (2n)! \operatorname*{\sim}_{n\to\infty} 2\sqrt{\pi n}\frac{(2n)^{2n}}{e^{2n}} $$ y mira el límite (cuando $n\to\infty$) de $$ \frac{1}{2\sqrt{\pi n}}\cdot\frac{n^n e^{2n}}{(2n)^{2n}} = \frac{1}{2\sqrt{\pi n}}\cdot\frac{e^{2n}}{2^{2n}n^n} = \frac{1}{2\sqrt{\pi n}}\cdot\left(\frac{e^{2}}{4n}\right)^n $$