¿Por qué el espacio dual de $H_0^1(\Omega)$ denotado $H^{-1}(\Omega)$ ?

Question

¿Por qué el dual del espacio de Sobolev $H_0^1(\Omega)$ denotado $H^{-1}(\Omega)$ ?

Para un número entero positivo $k$ , $H^k(\Omega)=W^{k,2}(\Omega)$ . ¿Cuál es la motivación de la $-1$ ¿exponente?

Answer 1

Definición Dejemos que $s\in\mathbb R$ . $H^s(\mathbb R^n)$ es el espacio vectorial que consta de elementos $u\in\mathcal S'(\mathbb R^n)$ tal que $\widehat u$ es medible y $(1+|\xi|^2)^{\frac s2}\widehat u \in L^2(\mathbb R^n)$ . Dotamos $H^s(\mathbb R^n)$ con el producto interior \begin{equation} \langle u,v\rangle_{H^s(\mathbb R^n)}:=\int_{\mathbb R^n}(1+|\xi|^2)^s\widehat u(\xi) \overline{\widehat v (\xi)}d\xi \end{equation} y denotamos
\begin{equation} \lVert u\rVert_{H^s(\mathbb R^n)} :=\left(\int_{\mathbb R^n}(1+|\xi|^2)^s|\widehat u(\xi)|^2d\xi \right)^{\frac 12} \end{equation} la norma correspondiente.

Dejemos que $s\in \mathbb R$ y $v\in H^{-s}(\mathbb R^n)$ . Si $u\in H^s(\mathbb R^n)$ el mapa $\xi\mapsto \widehat u(\xi)\widehat v(-\xi)$ está en $L^1(\mathbb R^n)$ .

De hecho, para todos los $\xi\in \mathbb R^n$ , $\widehat u(\xi)\widehat v(-\xi)=\widehat u(\xi) (1+|\xi|^2)^{\frac s2}\widehat v(-\xi)(1+|\xi|^2)^{-\frac s2}$ y el lado derecho es el producto de dos mapas de $L^2(\mathbb R^n)$ . Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos
$$\left|\int_{\mathbb R^n}\widehat u(\xi)\widehat v(-\xi)d\xi\right|\leq \lVert u\rVert_{H^s(\mathbb R^n)} \lVert v\rVert_{H^{-s}(\mathbb R^n)}.$$ Por lo tanto, si $v\in H^{-s}(\mathbb R^n)$ el mapa $L_v$ definido por \begin{equation} u\in H^s(\mathbb R^n)\mapsto L_v(u)=(2\pi)^{-n}\int_{\mathbb R^n}\widehat u(\xi)\widehat v(-\xi)d\xi =\int_{\mathbb R^n}\widehat u(\xi)\overline{\mathcal F}v(\xi)d\xi \end{equation} es una función lineal continua sobre $H^s(\mathbb R^n)$ (por tanto, un elemento de $(H^s(\mathbb R^n))'$ y $\lVert L_v\rVert _{(H^s(\mathbb R^n))'}\leq (2\pi)^{-n}\lVert v\rVert_{H^{-s}(\mathbb R^n)}$ . Podemos definir $L\colon H^{-s}(\mathbb R^n)\to (H^s(\mathbb R^n))'$ por $L(v)=L_v$ .

Teorema El mapa $L$ definida anteriormente es lineal, biyectiva y bicontinua. Nos permite identificar el espacio dual de $H^s(\mathbb R^n)$ por $H^{-s}(\mathbb R^n)$ .

Esquema de la prueba :

• El hecho de que $L$ es lineal viene de la linealidad de la transformada inversa de Fourier y de la integral. La continuidad se deriva de $\lVert L_v\rVert _{(H^s(\mathbb R^n))'}\leq (2\pi)^{-n}\lVert v\rVert_{H^{-s}(\mathbb R^n)}$ .
• $L$ es sobreyectiva. En efecto, dejemos que $T\in (H^s(\mathbb R^n))'$ . Podemos demostrar que existe una constante $C$ tal que para todo $\varphi\in \mathcal S(\mathbb R^n)$ $$|\langle T,\varphi\rangle|\leq C\lVert (1+|\xi|^2)^{s/2}\mathcal F^{-1}\varphi\rVert_{L^2(\mathbb R^n)}.$$ Podemos ver que $(1+|\xi|^2)^{-s/2}\widehat T$ es una función lineal sobre $L^2(\mathbb R^n)$ y aplicamos el teorema de representación de Riesz.
• La inyectividad sólo necesita la propiedad $\mathcal F^{-1}\mathcal F(\varphi)=\varphi$ para todos $\varphi\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ .

• El mapa inverso es continuo utilizando el teorema del isomorfismo de Banach.

Cuando $\Omega$ es un subconjunto abierto arbitrario de $\mathbb R^n$ tenemos que utilizar gráficos (y $\Omega$ debe ser suficientemente regular, ya que el Sobolev de orden entero, definido de forma clásica puede no ser igual al correspondiente, aunque $\Omega$ está acotado), pero al menos muestra la idea.