Encontrar todas las matrices $A$ orden $2 \times 2$ que satisfacen la ecuación de $A^2-5A+6I = O$

Question

Encontrar todas las matrices $A$ orden $2 \times 2$ que satisfacen la ecuación

$$ A^2-5A+6I = O $$

Mi Intento:

Podemos separar las $A$ plazo de la igualdad: $$ \begin{align} A^2-5A+6I &= O\\ A^2-3A-2A+6I^2 &= O \end{align} $$

Esto implica que $A\in\{3I,2I\} = \left\{\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\right\}$.

Son estos los dos únicos valores posibles para $A$, o hay otras soluciones?Si hay otras soluciones, ¿cómo los puedo encontrar?

Answer 1

El Cayley-Hamilton teorema establece que cada matriz $A$ satisface su propio polinomio característico, que es el polinomio para que las raíces son los valores propios de la matriz:

$p(\lambda)=\det[A-\lambda\mathbb{I}]$.

Si desea ver el polinomio:

$a^2-5a+6=0$,

como polinomio característico con raíces $a=2,3$, entonces cualquier matriz con valores propios, que son una combinación de 2 o 3 va a satisfacer la matriz polinomio:

$A^2-5A+6\mathbb{I}=0$,

que es cualquier matriz similar a:

$\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}$. Nota:$\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ es similar a $\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}$.

Para ver por qué esto es cierto, imagine $A$ es diagonalized por algunos matriz $S$ para obtener una matriz diagonal $D$ que contiene los autovalores $D_{i,i}=e_i$, $i=1..n$, que es:

$A=SDS^{-1}$, $SS^{-1}=\mathbb{I}$.

Esto implica:

$A^2-5A+6\mathbb{I}=0$,

$SDS^{-1}SDS^{-1}-5SDS^{-1}+6\mathbb{I}=0$,

$S^{-1}\left(SD^2S^{-1}-5SDS^{-1}+6\mathbb{I}\right)S=0$,

$D^2-5D+6\mathbb{I}=0$,

y debido a que $D$ es diagonal, para que esto se sostenga cada diagonal de entrada de $D$ debe satisfacer este polinomio:

$D_{i,i}^2-5D_{i,i}+6=0$,

pero las entradas de la diagonal son los valores propios de a $A$ y por lo tanto se deduce que el polinomio es satisfecho por $A$ si el polinomio es satisfecho por los autovalores de a $A$.

Answer 2

$A^2 - 5A + 6 = 0$ es equivalente a $(A-2)(A-3) = 0$, lo que equivale a $Sp(A) \subset \{2, 3\}$.

Tres casos son posibles :

• $Sp(A) = \{2\}$, es decir, $A = 2I$
• $Sp(A) = \{3\}$, es decir, $A = 3I$
• $Sp(A) = \{2, 3\}$, es decir, $A$ es similar a $\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Answer 3

Dos matrices $A$ $B$ son semejantes si existe una matriz $P$ tal que $A=PBP^{-1}$.

Las soluciones a la ecuación se $x=2,3$. Por lo tanto, todas las matrices que satisfacen la ecuación debe ser similar a $B=\begin{bmatrix}v_1&0\\0&v_2\end{bmatrix}$ donde $v_1$ $v_2$ son $2$ o $3$.

La elección de $P=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$, todas las soluciones de la ecuación son $$ A=PBP^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1&0\\0&v_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}, $$ para cualquier elección de $a,b,c,d$ donde $ad-bc\neq0$.

Answer 4

Como, en general, tenemos

$$ \mathbf{A}^2 - \big( \lambda_1 + \lambda_2 \big) \mathbf{A} + \lambda_1 \lambda_2 \mathbf{I} = 0, \tag 1 $$

vemos que en este caso

$$ \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 3. \tag 2 $$

Así que la solución general está dada por

$$ \bbox[16px,border:2px solid #800000] { \mathbf{B} \pmatrix{ 3 & 0 \\ 0 & 2} \mathbf{B}^{-1}, } \etiqueta 3 $$

para cualquier matriz tal que $\det(\mathbf{B}) \ne 0$.

Tenga en cuenta que

$$ \pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0} \pmatrix{3 & 0 \\ 0 & 2} \pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0} = \pmatrix{ 2 & 0 \\ 0 & 3}. \etiqueta 4 $$

Answer 5

Deje $p(A)$ ser el polinomio mínimo de a $A$. A continuación,$p(A) \mid (x-2)(x-3)$, lo $p(A) = (x-2), (x-3)$ O $(x-2)(x-3)$.

Si usted no tiene acceso a los autovalores para esta tarea, tal vez sólo se trate de enchufar en a,b,c,d para valores de $A$.