Este tipo de objetos se utilizan continuamente. Las matemáticas se hacen en términos de campos cuánticos, lo que hasta cierto punto oculta lo que ocurre.
Por ejemplo, su "coherencia (en el dominio de la frecuencia)" es una correlación coeficiente que está normalizado, mientras que los físicos suelen trabajar en términos de funciones de correlación, que normalmente no lo están, pero que en gran medida equivalen a lo mismo. Sus observables $X(f_1)$ etc., se construyen como funciones de la frecuencia, sin embargo ésta es un objeto singular en la teoría cuántica de campos. En la teoría cuántica de campos, en cambio, construimos observables $\phi(F_1)$ etc., como funcionales de las funciones de prueba $F_1(x)$ etc. Una opción singular sería $F_1(x)=\exp(if_1\cdot x)$ que hace que $\phi(F_1)$ esencialmente el mismo objeto que su $X(f_1)$ es singular Sin embargo, porque $F_1(x)$ no es integrable al cuadrado.
Otra opción de función de prueba singular es, por supuesto, $\delta(x-y)$ que da el valor del campo en un punto, que podríamos escribir en sus términos como algo así como $X(y)$ . Para un campo cuántico, también es un objeto bastante singular.
De hecho, cuando dices $X(f_1)$ lo que realmente quieres decir es $\int X(f) {\mathrm d}f$ en un pequeño rango de frecuencias, y en los detalles matemáticos y experimentales hay que tenerlo en cuenta. Para que todo sea preciso hay que saber cuál es el rango de frecuencias de cada una de las mediciones, que un experimentador debe caracterizar o debe leer de las hojas de datos del fabricante. Más detalladamente aún, tendremos que construir una función de peso, diciendo que las frecuencias cercanas a $f_1$ siguen siendo registrados por el dispositivo de medición, pero no tanto como cerca de $f_1$ . Podemos tomar la función de peso, como primera aproximación, como gaussiana. Esto corresponde a tomar la función de prueba $F_1(x)$ para ser ese gaussiano. El análisis de la señal suele llamar a la función de prueba a función de ventana . Las funciones de prueba o de ventana pueden ser difíciles de conocer, pero creo que vale la pena llegar a ellas.
En estos términos, su $C_{xyz}$ es una elección particular de la función de 3 puntos (normalizada). La elección de $f_1+f_2$ para la tercera frecuencia no es necesario, por supuesto, podemos considerar correlaciones de 3 puntos entre tres frecuencias cualesquiera $f_1,f_2,f_3$ (y sus alrededores). En la teoría cuántica de campos, representaríamos la función de correlación de 3 puntos, en el estado de vacío, como $\left<0\right|\phi(F_1)\phi(F_2)\phi(F_3)\left|0\right>$ . Sustituye el vector de vacío por algún otro vector de estado, si quieres.
En el caso particular de que los observables de campo cuántico sean mutuamente conmutativos, puede entenderse que se generan medidas de probabilidad que corresponden a una descripción equivalente en términos de medidas de probabilidad sobre variables aleatorias clásicas y, por tanto, precisamente a un análisis estocástico de señales. Cuando los observables de campo cuántico no son conmutativos, todo se complica mucho más, pero se puede mantener un remanente del punto de vista del procesamiento de señales.
Hay una matemática de campos aleatorios que se utiliza en cosmología porque generalmente no es necesario preocuparse por la incompatibilidad de las mediciones en ese contexto. Los matemáticos suelen presentar el análisis de señales en términos de espacio de Hilbert, a menos que escriban para un público de ingeniería.
