Alguien está haciendo un mod para el videojuego Kerbal Space Program (KSP), que implementa en el juego cuerpos N propios con masas puntuales (y posiblemente en el futuro también otras dinámicas), en lugar de la aproximación cónica parcheada de serie. El "sistema solar" de KSP es una versión simplificada y a escala de nuestro propio sistema solar. Alguien hizo un N-cuerpo simulación numérica de este sistema, en el que se puede ver que no todas las órbitas son realmente estables, concretamente dos lunas alrededor del gigante gaseoso Jool, llamadas Vall y Bop.
El gigante gaseoso Jool tiene, de forma similar a Júpiter, tres lunas interiores que tienen una resonancia 1:2:4, sin embargo la del medio, Vall, es expulsada muy pronto en la simulación.
Esto plantea una pregunta sobre cuándo la resonancia 1:2:4 es estable/autocorrectiva. La principal diferencia que he observado entre el KSP y el sistema solar real es que en el KSP las lunas son mucho más pesadas en comparación con su cuerpo madre. En el caso de Io, Europa y Ganímedes, las proporciones de masa varían aproximadamente entre $2.5\ 10^{-5}$ y $7.8\ 10^{-5}$ mientras que para Laythe, Vall y Tylo (sus equivalentes en KSP) las proporciones de masa varían aproximadamente entre $7.3\ 10^{-4}$ y $1.0\ 10^{-2}$ . Los elementos orbitales y los parámetros físicos de los cuerpos celestes en el KSP se pueden encontrar aquí . Así que esto me hace preguntarme si hay un límite conocido (estimación aproximada) para esto.
Yo mismo he hecho simulaciones de cuerpo N con masas puntuales con sólo dos de las lunas en resonancia 1:2 con sus masas por defecto (así Laythe y Vall o Vall y Tylo) en cuyo caso sus órbitas parecen permanecer estables. Aquí hay un pocos resultados en el que calculé el semieje mayor, $a$ y la excentricidad, $e$ de la siguiente manera, $$ a = \frac{\mu r}{2\mu - v^2 r}, $$
$$ e = \sqrt{1 + \frac{v_\theta^2 r}{\mu} \left(\frac{v^2 r}{\mu} - 2\right)}. $$
Para una referencia en términos de escala de tiempo en los resultados, el período orbital de la luna más interna Laythe es igual a aproximadamente $5.3\ 10^4$ segundos. Pero también he realizado simulaciones con las tres lunas en las que he disminuido las masas de Laythe y Tylo en un factor 10 (Vall ya tiene una masa un orden de magnitud menor), en cuyo caso las órbitas de éstas también parecen permanecer estables. Estos resultados pueden ser ver aquí . Esto parece más caótico que cualquier configuración de las dos lunas.
Este es una pregunta relacionada. Todavía no tiene respuesta, pero uno de sus comentarios sí enlaza con un documento, pero éste no menciona las relaciones de masa como criterio para que la resonancia de tres cuerpos sea estable o no.
Para que quede claro, sólo estoy considerando la interacción gravitatoria entre masas puntuales, así que por ahora no hay fuerzas de marea ni precesión nodal. Estoy buscando algún límite en términos de relación de masas entre el padre y sus satélites, similar a, por ejemplo, el Esfera de la colina que da un límite aproximado para la distancia a la que son posibles las órbitas estables. Aunque el problema de los N-cuerpos se considera caótico, yo sospecharía que habría alguna forma de determinar esta relación. Intuitivamente pensaría que con sólo la interacción gravitacional un sistema de este tipo aún puede ser estable y autocorregible.
Por ejemplo, si el satélite central se viera perturbado en el punto de máxima aproximación del satélite interior, de forma que el lado opuesto de su órbita se elevara, eso significaría que su periodo aumentaría y los puntos de máxima aproximación con los otros dos satélites empezarían a desviarse hacia atrás en la órbita. Esto amplificaría inicialmente la perturbación inicial, ya que cuando el satélite interior se encontrara en la posición inicial de mayor aproximación estaría ligeramente por delante del satélite medio, arrastrándolo ligeramente, aumentando aún más el lado opuesto de la órbita del satélite medio. Pero una vez que los puntos de máxima aproximación se hayan alejado lo suficiente como para que la separación sea demasiado grande como para inducir una atracción significativa. Una vez que esta deriva de los puntos de mayor acercamiento hubiera dado casi una vuelta de 360°, la distancia de separación con el satélite interior volvería a disminuir, pero sus veces cada acercamiento el satélite interior tiraría del satélite medio hacia atrás, contrarrestando las perturbaciones iniciales.
