Ejemplos de las grandes categorías de la categoría de conjuntos, de grupos, de espacios topológicos, de anillos, de espacios vectoriales, de módulos, de ....., también, cualquier clase adecuada da lugar a dos grandes categorías, los discretos uno y la indiscreta uno en el conjunto.
La importancia del tamaño en la categoría de teoría es un problema de la existencia de ciertas construcciones. Por ejemplo, es útil para saber si una categoría admite ciertos límites o colimits, ya que si lo hace, entonces usted sabe que siempre puede construir un objeto determinado como (co)límite de algunos diagrama en la categoría. Si una categoría es un completo entramado, entonces tiene todos los límites y colimits. Todos aquí significa que no hay restricción en el diagrama. En el otro sentido, si una categoría tiene todos los límites o todos colimits, de los que en realidad debe ser un poset (y por lo tanto un completo entramado).
Esto muestra que hay una cierta exclusividad mutua entre todos (co)límites y tener más de dos flechas entre los objetos. Ya que estamos muy interesados en categorías que no son posets, y también estamos interesados en tener (co)límites, debemos establecer algunas restricciones de tamaño en los diagramas para la (co)límites. Normalmente, uno define una categoría pequeña (co)completo, si tiene todos los pequeños (co)límites. Lo que significa que cualquier diagrama indexados por una pequeña categoría (co)límite. Diagramas de gran tamaño puede o no puede tener límites.
También, sin la restricción de tamaño, la diferencia entre los límites y colimits se vuelve borrosa. Es posible exposición límite de un (potencialmente) grande colimit, y viceversa. Mismo vale para la izquierda y a la derecha Kan extensiones.
El tamaño de las cuestiones que también juegan un papel en saber que functor categorías existen y también en las construcciones de izquierda/derecha adjoints, pero no voy a entrar en eso desde que mi respuesta es lo suficientemente largo, y espero que esto responda tu pregunta lo suficiente, al menos por ahora. Y ver la Importancia de la 'pequeñez' en una categoría, y functor categorías.
