He estado trabajando con el libro de Wald "General Relativity", y estoy bastante atascado en la pregunta 4. a) del capítulo 6:
"Dejemos $(M,g_{ab})$ sea un espacio-tiempo estacionario con un campo de Killing de tipo temporal $\xi^a$ . Dejemos que $V^2 = -\xi^a \xi_a$ . Demuestre que la aceleración $a^b = u^a \nabla_a u^b$ de un observador estacionario viene dada por $a^b = \nabla^b \log (V)$ ."
En primer lugar, he utilizado que un observador estacionario es aquel cuya 4-velocidad es el vector de Killing de tipo temporal $\xi^a$ y yo introduje las coordenadas $t,x,y,z$ para que $\xi^a = (\partial / \partial t)^a$ y los tres restantes se definen arbitrariamente. Entonces $\xi^a$ es el vector $(1,0,0,0)$ así que \begin {align} a^b &= \xi ^a \nabla_b \xi ^a \\ &= \xi ^a \partial_a \xi ^b + \xi ^a \Gamma ^b \text {}_{ac} \xi ^c \\ &= \xi ^0 \partial_0 \xi ^b + \xi ^0 \Gamma ^b \text {}_{00} \xi ^0 \\ &= 0 + \Gamma ^b \text {}_{00} \\ &= (1/2) g^{ab} ( 2 \partial_t g_{0a} - \partial_a g_{00}) \\ &= -(1/2) \nabla ^b g_{00}, \end {align} donde para llegar a la última línea la independencia de $g_{ab}$ de las coordenadas de Killing $t$ y la propiedad $\nabla_a f = \partial_a f$ para cualquier escalar $f$ se utilizaron ambos. Además \begin {align} V^2 = - \xi ^a \xi_a = - g_{ab} \xi ^a \xi ^b = -g_{00}, \end {align} así que de hecho $a^b = (1/2) \nabla^b (V^2) = V \nabla^b V$ . Sin embargo, $\nabla^b \log (V) = (1/V) \nabla^b V$ por la regla de la cadena, por lo que parece necesario y suficiente, para $a^b$ para igualar $\nabla^b \log(V)$ que $V = \pm 1$ ; en efecto, sólo podría ser $+1$ ya que de lo contrario $\log(V)$ es indefinido. Pero esto implicaría la situación altamente antifísica que $a^b = 0$ .
¿Puede alguien ayudarme a resolver mi dilema? Muchas gracias de antemano.
