¿Existen elementos de peso fijo en un cristal que no mueran por demasiados operadores de Kashiwara?

Question

Me he encontrado con un lema molesto tratando de terminar una discusión, y esperaba que alguno de vosotros lo conociera.

Pregunta: Dado

1. un peso $\lambda$ de un álgebra de Lie simple $\mathfrak g$ y
2. enteros $n_\alpha$ para cada raíz simple $\alpha$ ,

¿Existe un peso máximo $\nu$ , tal que en el cristal de con mayor peso $\nu$ hay un elemento $x$ de peso $\lambda$ tal que $\tilde{F}_\alpha^{n_\alpha}x\neq 0$ ?

Esto es cierto en $\mathfrak{sl}_2$ Lo que me hace tener esperanzas en otras álgebras de Lie, pero el argumento no me cuadra.

Answer 1

Vale, creo que ya veo la respuesta: por la fórmula de caracteres que quieras, puedes ver que para cualquier espacio de peso fijo (digamos, el $\lambda$ y $\lambda-n_\alpha\alpha$ para todos $\alpha$ ), puede elegir $\nu$ para que las multiplicidades en todos estos puntos sean muy grandes en comparación con las diferencias entre dichas multiplicidades. Dado que el número de elementos del cristal muerto por $\tilde{F}_{\alpha}^{n_\alpha}$ es sólo la diferencia de las multiplicidades de los pesos (o 0), el resultado se deduce por encasillamiento.