Un integrante de $\int_0^\infty P_s(x-1)\,e^{-x}\,dx$ involucran funciones de Legendre

Question

Deje de $P_s(x)$ denotan las funciones de Legendre de la $1^{st}$ tipo, es decir, el polinomio de Legendre generalizada a un arbitrario (no necesariamente entero) orden de $s$. Se puede expresar utilizando la función hipergeométrica: $$P_s(x)={_2F_1}\left(-s,s+1;\ 1;\ \frac{1-x}2\right).\tag1$$ Consideremos la integral definida $$\mathcal{J}(s)=\int_0^\infty P_s(x-1)\,e^{-x}\,dx.\tag2$$ Se evalúa a valores enteros cuando $s\in\mathbb{Z}^+$. El uso de un asistida por ordenador de búsqueda para el término general de la fórmula, descubrí la siguiente conjetura, que todavía no he sido capaz de demostrar: $$\mathcal{J}(s)\stackrel?=\a la izquierda(K_{3/2}(1)\cdot I_{s+1/2}(-1)-I_{3/2}(-1)\cdot K_{s+1/2}(1)\right)\sqrt{-1},\tag3$$ donde $I_\nu(z)$ y $K_\nu(z)$ son las funciones de Bessel modificadas de los $1^{st}$ y $2^{nd}$ tipo.

Por desgracia, sólo parece tener para $s\in\mathbb{Z}^+$, y no generalizar a valores no enteros de $s$.

• Podemos probar la conjetura de $(3)$?

• Podemos encontrar una fórmula más general que tiene no sólo para valores enteros de $s$?

• Podemos encontrar (o al menos conjetura) de una forma cerrada para $\mathcal{J}(1/2)$?

Answer 1

No es una respuesta apropiada, pero es el más cercano a su integral que fui capaz de encontrar. Utilizando la fórmula 7.141.1 en Gradshteyn-Ryzhik, después de algunas simplificaciones, se puede obtener: $$\int_0^\infty P_s(x+1)\,e^{-x}\,dx=\frac{e\,\sqrt2}{\sqrt\pi} K_{s+\frac{1}{2}}(1),$$ donde $K_\nu(x)$ es la función Bessel modificada de la 2ª clase. Tenga en cuenta que esta fórmula contiene $(x+1)$ en lugar de $(x-1)$ que aparece en su pregunta. Todavía estoy tratando de encontrar una respuesta apropiada...

Answer 2

Para $s=0,1,2,\ldots$ calculamos $$\mathcal{J}(s) = 1, 0, 1, 5, 36, 329, 3655, 47844, 721315, 12310199, 234615096, \ldots$$ [Esta fue obtenida con el gp de código

F(p) = sum(k=0, poldegree(p), k!*polcoeff(p,k))
N = 10
vector(N+1,s,F(pollegendre(s-1,x-1)))

y también puede ser obtenido a partir de la expansión de $P_s(x-1)$ de poderes de $x$, dando $(-1)^s \sum_{k=0}^s 2^{-k} k! {s \elegir k} {-s-1 \elegir k}$.] Esto coincide con OEIS secuencia 806 a firmar, lo que indica que estamos tratando con $(-1)^s y_s(-1)$ donde $y_s$ es el Bessel polinomio de grado $s$. Hay un montón de información acerca de estos números en que OEIS entrada, incluyendo una recurrencia equivalente a $${\mathcal J}(s) = (2s-1) {\mathcal J}(s-1) + {\mathcal J}(s-2)$$ y una fórmula más simple en términos de funciones de Bessel modificadas:

a(n) = BesselK[n+1/2,-1] / BesselK[5/2,-1]

contribuido por Vaclav Kotesovec en Agosto 07 de 2013. Estas fórmulas, junto con el conocido recurrencias de Bessel modificada de funciones, pronto también el rendimiento de Vladimir Reshetnikov's conjetural fórmula en términos de $I_{s+1/2}(-1)$ y $K_{s+1/2}(1)$.

Answer 3

$\int_0^\infty P_s(x-1)e^{-x}~dx$

$=\int_{-2}^\infty P_s(x+1)e^{-x-2}~dx$

$=\int_{-2}^0P_s(x+1)e^{-x-2}~dx+\int_0^\infty P_s(x+1)e^{-x-2}~dx$

$=\int_{-2}^0{_2F_1}\left(-s,s+1;1;-\dfrac{x}{2}\right)e^{-x-2}~dx+\dfrac{\sqrt2}{e\sqrt\pi}K_{s+\frac{1}{2}}(1)$ (de acuerdo a OlegK la respuesta)

$=2e^{-2}\int_0^1{_2F_1} (s,s+1;1;x)e^{2x}~dx+\dfrac{\sqrt2}{e\sqrt\pi}K_{s+\frac{1}{2}}(1)$

$=2e^{-2}\int_0^1\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{2^nx^n{_2F_1}(-s,s+1;1;x)}{n!}dx+\dfrac{\sqrt2}{e\sqrt\pi}K_{s+\frac{1}{2}}(1)$

$=2e^{-2}\left[\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{2^nx^{n+1}{_3F_2}(-s,s+1,n+1;1,n+2;x)}{n!(n+1)}\right]_0^1+\dfrac{\sqrt2}{e\sqrt\pi}K_{s+\frac{1}{2}}(1)$ (de acuerdo a http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric2F1/21/01/02/01)

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{2^{n+1}{_3F_2}(-s,s+1,n+1;1,n+2;1)}{(n+1)!e^2}+\dfrac{\sqrt2}{e\sqrt\pi}K_{s+\frac{1}{2}}(1)$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{(-s)_k(s+1)_k(n+1)_k2^{n+1}}{(n+1)!(1)_k(n+2)_kk!e^2}+\dfrac{\sqrt2}{e\sqrt\pi}K_{s+\frac{1}{2}}(1)$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{(-s)_k(s+1)_k\Gamma(n+k+1)2^{n+1}}{n!(1)_k\Gamma(n+k+2)k!e^2}+\dfrac{\sqrt2}{e\sqrt\pi}K_{s+\frac{1}{2}}(1)$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{(1)_{n+k}(-s)_k(s+1)_k2^{n+1}}{(2)_{n+k}n!(1)_kk!e^2}+\dfrac{\sqrt2}{e\sqrt\pi}K_{s+\frac{1}{2}}(1)$

$=2e^{-2}\mathrm{F}^{1:0;2}_{1:0;1}\Bigg(\begin{matrix}1&:&-&;&-s,s+1&\\2&:&-&;&1&\end{matrix}\Bigg|2,1\Bigg)+\dfrac{\sqrt2}{e\sqrt\pi}K_{s+\frac{1}{2}}(1)$