En 2D podemos usar la definición de un círculo de $\langle X,\,X\rangle = 1$, donde si un punto con vector de posición $X$ se mueve suavemente en el círculo, obtenemos $\langle X,\,\dot{X}\rangle = 0$. Con un poco de trabajo a partir de este principio, ahora se puede demostrar que el problema de asignación de mantener el círculo invariante es de la forma:
$$R = \left(\begin{array}{cc}c&-s\\s&c\end{array}\right)$$
con $c^s+s^2=1$. Que la asignación de este tipo de mapas de un vector en un vector ortogonal? En otras palabras, buscamos soluciones para:
$$(x,\,y)\left(\begin{array}{cc}c&-s\\s&c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = 0$$
y no son precisamente dos de ellos:
$$i=\pm\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$$
Para cualquiera de estas soluciones, se puede fácilmente demostrar que $\mathrm{id},\,i,\,i^2,\,i^3$ son todos distintos y que $i^4=\mathrm{id}$. Así que cuatro aplicaciones de nuestro operador $i$ deben impartir exactamente una rotación completa.
Por lo tanto, la isometría que asigna un vector ortogonal uno es la misma que la isometría que corresponde a un cuarto de vuelta.
Así que, en resumen, podemos ver que la respuesta a tu pregunta viene de ambos Danu Y WillO comentarios:
De Danu:
Es una consecuencia de la definición del producto interior en $\mathbb{R}^N$.
Y de WillO:
Es debido a $i^4=1$
Más Preguntas de OP
...La derivación de dar muestra de forma explícita por qué un cuarto de vuelta asigna un vector ortogonal a uno, pero creo que probablemente ni siquiera podía escribir una matriz de rotación, en la forma que, si el espacio tenía una estructura en la que lo que era falso. ... estaba pensando en el significado de la ortogonalidad en el espacio de Minkowski y en el no-Euclidiana espacios que podrían ser relevantes para la real en el espacio físico.
Piénsalo de esta manera: la matriz de la estructura codifica ortogonalidad: testimonio de que sus filas/ columnas son ortogonales y se conserva interior de los productos. De hecho en 2D es la única lineal de asignación que tanto lo hace y conserva el sentido (reflexiones a conservar el interior de los productos, pero multiplicar el ángulo entre los dos vectores que se trate por -1). Por lo tanto, va de la mano con la definición de ortogonalidad. Para entender esto, testimonio de que una matriz $M$ conserva interior de los productos en el espacio Euclidiano iff
$$X^T\,M\,Y= X^T\,Y =\langle X,\,Y\rangle\,\forall\,X,\,Y\in\mathbb{R}^N\tag{1}$$
y escribir la matriz general que hace esto: usted encontrará que se trata de una rotación compuesta con una reflexión (de hecho, uno puede comenzar con la aparentemente más débiles de la noción de norma de conservación de la $X^T\,M\,X= X^T\,X\,\forall\,X\in\mathbb{R}^N$, anote esta condición para los vectores $X$, $Y$ y $X+Y$, combinar las ecuaciones resultantes por la fuerza de billinearity y puede derivar (1) anterior). Por lo que la matriz de la estructura de la siguiente manera a partir de la definición de ortogonalidad en el espacio Euclidiano.
Una gran diferencia en el espacio de Minkowski es que la intersección de un espacio vectorial y su complemento ortogonal no es trivial: hay distinto de null vectores ("lightlike vectores").t. $\langle X,\,X\rangle=0$, por lo que no se puede dividir el vector spce en una suma directa de subespacios $U$ su complemento ortogonal $U^\perp$ desde $U\cap U^\perp\neq \{0\}$: la intersección de los dos en general contiene los vectores distinto de 0.
...Parece que algo importante acerca de la física rompería si rotaciones trabajado de otra manera - es decir, si se tomaron 6 rotaciones de 90 grados para volver a donde empezaste....
¿Has oído hablar de spinors, fundas de Mentira grupos y/o representaciones de grupos? Hay representaciones de rotaciones que tomar 8 lotes de π/2 para volver a la identidad. Esta no es exactamente la misma cosa, pero es intrigante, no obstante. $SU(2)$ es el doble de la cubierta de $SO(3)$, por lo que si usted representar la multiplicación por cuaterniones, cuaterniones actuar sobre vectores de manera que la unidad de $i$ corresponde a la mitad de turno. Te gustaría ver mi respuesta aquí para más detalles. El factor de escala de aquí es de 2, y $SU(2)$ es la cobertura universal de $SO(3)$, por lo que todas las portadas de las $SU(3)$ debe estar contenido en $SU(2)$, por lo que obtener los objetos que tomar dos vueltas completas para volver a la identidad, los objetos que tomar un giro completo a hacerlo y nada más: no hay factores de escala de 3 o 6 por ejemplo.
