Resolver la compleja ecuación de $z^3 = i$

Question

Tengo esta $z^3 = i$ compleja ecuación a resolver.

Empiezo con la reescritura de la compleja ecuación de a $a+bi$ formato.

1 $z^3 = i = 0 + i$

2 Calcular la distancia $r = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$

3 El ángulo de es$\cos \frac{0}{1}$$\sin \frac{1}{1}$, que equivale a $\frac {\pi}{2}$.

4 La compleja ecuación puede ser ahora rewriten $w^3=r^3(cos3v+i\sin3v)$, $w^3 = 1^3(\cos \frac {\pi}{2} 3 +i \sin \frac {\pi}{2} 3)$ o $w^3 = e^{i \frac {\pi}{2} 3}$.

5 Calcular el ángulo de $3 \theta = \frac {\pi}{2} + 2 \pi k$ donde $k = 0, 1, 2$

6 $k = 0$, $3 \theta = \frac {\pi}{2} + 2 \pi 0 = \frac {\pi}{6}$

7 $k = 1$, $3 \theta = \frac {\pi}{2} + 2 \pi 1 = \frac {\pi}{6} + \frac {2 \pi}{3} = \frac {5 \pi}{6}$

8 $k = 2$, $3 \theta = \frac {\pi}{2} + 2 \pi 2 = \frac {\pi}{6} + \frac {4 \pi}{3} = \frac {9 \pi}{6}$

Por lo que los ángulos se $\frac {\pi}{6}, \frac {3 \pi}{6}, \frac {9 \pi}{6}$ pero eso no es la respuesta correcta. El ángulo de la ecuación compleja que debe ser $-\frac {\pi}{2}$ donde he calculado a $\frac {\pi}{2}$. Estoy yo equivocado o hay un error en el libro que estoy usando?

Gracias!

Answer 1

El camino más fácil;

$a$z^3=i \\ \iff z^3-i=0 \\ \stackrel{-i=i^3}{\iff}z^3+y^3=0 \\ \iff (z+i)(z^2-iz-1) = 0 \\ \iff z_1=-i,\; z_2=\frac12 (i-\sqrt 3), \; z_3=\frac12 (i+\sqrt 3)$$

Hacer caso omiso a esta respuesta si sus ejercicios de restringir a trigonométricas/polar formulario.

Answer 2

Paso $4$ es donde el error ocurre. La ecuación original es

$$z^3=i$$

Luego reescribir $i=1\cdot(\cos\frac\pi2 + i\sin\frac\pi2)$ y reescribir $z = r(\cos v + i\sin v)$, lo que significa que $$z^3=i$$ va a cambiar en $$r^3(\cos3v + i\sin 3v) = 1\cdot(\cos\frac\pi2 + i\sin\frac\pi2)$$

Lo que hizo que también se llevó el tercer poder de la $i$, lo que estaba mal.

Answer 3

El uso de coordenadas polares.

$z^{3}=i=e^{i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)}$, $k\in \mathbb{Z}$

Y a partir de aquí es mucho más sencillo

EDIT: a lo que me refiero por mucho más simple...

El OP tipo de los utilizados polar forma, pero en realidad no. Usted debe stock con polar forma hasta el final. El OP introduce $\theta$, $cosinus$ y $sinus$ funciones, etc. Se mezcla todo y se olvidan de que $(\frac{\pi}{2}+2\pi)$, dividido por $3$, da $\frac{5\pi}{6}$...