Mapa que satisface $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ pero no $f(x+y) = f(x)+f(y)$

Question

Me podrían dar ejemplo de mapas de $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que satisfacer $$ f(\lambda x) = \lambda f(x) \quad \forall x,\lambda \in \mathbb R $$ pero no $ f(x+y) = f(x)+f(y) $? Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $f(1)=a$. A continuación,$f(\lambda\cdot 1)=\lambda f(1)=\lambda a$. O, para ponerlo en la más familiar de las letras, $f(x)=ax$. Por lo $f(x+y)=f(x)+f(y)$.

Observaciones: las Cosas se ponen más interesantes, por ejemplo, si restringimos $\lambda$ racional de los valores.

Las cosas también se pone más interesante si nos preguntamos acerca de los converse problema. Resulta que hay exóticos soluciones a los Cauchy funcional de la ecuación de $f(x+y)=f(x)+f(y)$.

Las cosas se vuelven más interesantes si reemplazar$\mathbb{R}$$\mathbb{R}^2$. Entonces es perfectamente posible tener $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ para todos los vectores $x$ y escalares $\lambda$, sin tener $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Por ejemplo, en el mapa todos los puntos de la $x$eje $(0,0)$, y el mapa fuera del eje puntos a sí mismos.

Answer 2

No. Elija $z$$f(z)\ne 0$. A continuación, $f(x+y)=\frac{x+y} zf(z)=\frac xzf( z)+\frac yz f(z)=f(x)+f(y)$