Isomorfismo de Grupos

Question

Demostrar que $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es isomorfo al grupo multiplicativo de la raíz de la unidad en la $\mathbb{C}^\times$.

Traté de construir un homomorphism de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{C}^\times$con kernel $\mathbb{Z}$, pero creo que no funcionó.

Answer 1

Tenga en cuenta que usted está visualizando $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ como un aditivo grupo; por lo que su morfismos debe mapa sumas de racionales en los productos de los números complejos de la norma $1$.

Ahora, hay una famosa familia de funciones que enviar sumas en productos; de esta familia es también bien conocido por dar una muy buena descripción de cada elemento de los números complejos que tiene complejo de norma $1$. Tal vez que puede ser utilizado de alguna manera?

Answer 2

Corrección: Definir un mapa de $\mathbb{R} \to \mathbb{C}^\times$ mediante el envío de $$r \mapsto e^{2\pi i r}.$$ Now this is clearly a well-defined homomorphism (check this!). It is surjective onto the unit circle (check this!) with kernel $\mathbb{Z}$ (check this!). Thus, $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ is isomorphic to the circle. Recall that the roots of unity comprise the torsion subgroup of the circle (check this!); so they must be isomorphic to the torsion subgroup of $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, which is exactly $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ (mostrar esto!).