¿Puede una integral indefinida tener múltiples respuestas? (Además de la ' + C')

Question

Así que me encontré con esta integral hoy en mi examen:

$$ \int \frac { \tan ( \pi x) \sec ^2( \pi x)}2 $$

Y tengo dos respuestas correctas:

$$ \frac { \sec ^2( \pi x)}{4 \pi } +C$$

Y

$$ \frac { \tan ^2( \pi x)}{4 \pi } + C$$

La primera, la obtengo sustituyendo $u= \sec ( \pi x)$ y la segunda, sustituyendo $u= \tan ( \pi x) $

Ya he diferenciado ambas respuestas y he llegado a la misma integral, pero mi pregunta es, si ambas respuestas son correctas y si se trata de una integral definitiva, ¿qué respuesta debo usar? ¿No darían resultados diferentes?

Answer 1

En su caso, la diferencia entre ambos es una constante:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

así que

$$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$$

En general, esto también será cierto - la integración sólo puede ser diferente hasta una constante: considere $g = \int f = h$ y observe que $g-h = \int f - \int f = \int 0 = const$ .

Answer 2

No darían respuestas diferentes en un Definitivamente integral. Supongamos que queremos encontrar $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ . Dejemos que $F(x)$ sea una antiderivada de $f(x)$ y que $G(x)$ ser otro. Se diferencian por una constante, por lo que $G(x)=F(x)+C$ para alguna constante $C$ .

Si utiliza $F(x)$ para evaluar la integral de $a$ a $b$ , se obtiene $F(b)-F(a)$ .

Si utiliza $G(x)$ , se obtiene $G(b)-G(a)$ Es decir, $(F(b)+C)-(F(a)+C)$ . Simplificar. El $C$ La cancelación de la misma.