La prueba de la Suma de los Cuadrados que Equivale $\pi^2/6$

Question

Soy un joven de 15 años interesados en el nivel más alto de matemáticas. Recientemente he estado estudiando Complejo Análisis de las notas de mi profesor de matemáticas de la universidad de las clases de matemáticas. He entendido todo hasta el 2 últimas páginas, cuando se proporciona una prueba de que la suma de $1/(n^2)$ $n=1\to \infty$ es igual a $\pi^2/6$ el uso de residuos y el Teorema de los Residuos.

Ha escrito los Residuos de la función $$ f(z) = \frac{\pi \cuna(\pi z)}{z^2} $$ Pero quiero entender cómo llegó a ellos, así que me siento que estoy totalmente de entender a mí mismo. Tengo todos los residuos en$z = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \ldots$, pero lo que no entiendo es esto : Res en el polo $z=0$$\pi^2/3$. Por qué? Por favor explique cómo llegó esto a mí. He tratado de trabajar a cabo utilizando varios métodos, pero no se puede averiguar.

Gracias.

Answer 1

Voy esquema de Euler de la segunda prueba de los convenios de Basilea problema. Si partimos de la identidad: $$ \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}=\prod_{n\geq 1}\left(1-\frac{x^2}{ n^2}\right) \tag{1}$$ y considerar la posibilidad de $-\frac{d}{dx}\log(\cdot)$ de ambos lados, obtenemos: $$ \frac{1}{x}-\pi\cot(\pi x) = \sum_{n\geq 1}\frac{2x}{n^2-x^2}\tag{2}$$ a continuación, la reorganización y expansión de los términos de la suma en el lado derecho como series geométricas, $$\frac{1-\pi x\cot(\pi x)}{2}=\sum_{n\geq 1}\frac{x^2}{n^2-x^2}=\sum_{n\geq 1}\sum_{m\geq 1}\frac{x^{2m}}{n^{2m}}=\sum_{m\geq 1}\zeta(2m)\,x^{2m}\tag{3} $$ así que la serie de Taylor de $g(x)=\frac{1-\pi x\cot(\pi x)}{2}$ en el origen nos da los valores de $\zeta(2),\zeta(4),\zeta(6),\ldots$
En particular, $$\zeta(2m) = (2m)!\cdot g^{(2m)}(0). \tag{4}$$

Answer 2

Para un polo de orden $n$, el residuo puede ser evaluada a VER ESTA usando la fórmula

$$\text{Res}(f,z=z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{(n-1)}}{dz^{(n-1)}}\left((z-z_0)^nf(z)\right) \tag 1$$

Deje $f(z)=\frac{\pi \cot(\pi z)}{z^2}$. Tenga en cuenta que $f$ tiene un polo de orden $3$$z=0$. El uso de $(1)$$z_0=0$$n=3$, el residuo de $f$ $0$ está dado por

$$\begin{align} \text{Res}\left(\frac{\pi \cot(\pi z)}{z^2},z=0\right)&=\frac12\lim_{z\to 0}\frac{d^2((\pi z) \cot(\pi z))}{dz^2}\\\\ &=\pi^2\lim_{z\to 0}(\pi z \cot(\pi z)\csc^2(\pi z)-\csc^2(\pi z))\tag 2\\\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{-\pi^2/3 }\tag 3 \end{align}$$

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NOTA:

En lo que va de $(2)$$(3)$, se utilizó

$$\pi z\cot(\pi z)=\frac{1-\frac12 (\pi z)^2+O(z^4)}{ (1-\frac16 \pi^2 z^2+O(z^4))}=1-\frac13 \pi ^2z^2+O(z^4)$$

y

$$\csc^2(\pi z)=\frac{1}{\pi^2 z^2}\left(1+O(z^2)\right)$$

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COMPLEMENTARIO PARA EL DESARROLLO:

En ESTA RESPUESTA, he evaluado la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$ real mediante el análisis. En ese desarrollo, se utilizó $$\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1-xy}\,dx\,dy$$which can be shown by expanding the term $\frac1{1-x}$ in a geometric series, interchanging the sum and the integrals, and carrying out the trivial integrals $\int_0^1 x^n\,dx$ and $\int_0^1 y^n \,dy$.

Answer 3

$$f(z)=\frac{\pi \cot(\pi z)}{z^2}=\frac{\pi \cos(\pi z)}{z^2 \sin(\pi z)}$$

$z=0$ es un polo de orden 3 (debido a $\sin(\pi z)$ tiene un cero simple en $z=0$).

Por lo tanto

$$res(f,0)=\frac{1}{2!} \lim_{z \to 0} \left(z^3\frac{\pi \cos(\pi z)}{z^2 \sin(\pi z)} \right)"=\frac{\pi }{2!} \lim_{z \to 0} \left(z \cuna(\pi z) \right)" \\=\frac{\pi }{2!} \lim_{z \to 0} 2 \pi^2 z \cuna(\pi z)\csc^2(\pi z)-2 \pi\csc^2(\pi z) \\ =\pi^2 \lim_{z \to 0} \frac{ \pi z\cos(\pi z)- \sin(\pi z)}{\sin^3(\pi z)}\\ =\pi^2 \lim_{z \to 0} \frac{ -\frac{\pi ^3 z^3}{3}+\frac{\pi ^5 z^5}{30}+...}{\pi ^3 z^3-\frac{\pi ^5 z^5}{2}+...}=-\frac{\pi^2}{3}\\$$