Tiempo de inversión para la ecuación de Euler en la dinámica de fluidos

Question

Considere la ecuación de Euler para la continuidad del cuerpo:

$$\frac{\partial u^i}{\partial t}+\mathbf u\cdot \nabla u^i=- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x^i} $$

donde $\rho$ es la densidad de la masa, $p$ es la presión y $\mathbf u (t, \mathbf x)$ es el campo de velocidad. Bajo el efecto de un impulso $(t=t',R=1)$:

$$\mathbf u'(t,\mathbf x')= \mathbf u (t,\mathbf x' + \mathbf v t)- \mathbf v=\mathbf u (t,\mathbf x)- \mathbf v$$

(aquí se $\mathbf v$ es la velocidad de marco de referencia)

tomamos nota de que si ponemos en una forma natural $\rho '(t,\mathbf x')=\rho (t, \mathbf x)$ $p'(t,\mathbf x')=p (t, \mathbf x)$ obtenemos que la ecuación de Euler es Galileo covariante PERO no es invariante por un tiempo de la inversión (es decir,$t \rightarrow -t$).

Mi pregunta es: que las transformaciones de $\rho$ $p$ qué tenemos que utilizar con el fin de obtener la ecuación de Euler que es invariante para el tiempo de la inversión, sin perder de Galileo covarianza?

Answer 1

No puedo contestarle la pregunta matemáticamente, pero mi experiencia con las Hamburguesas ecuación me dice que no hay tal transformación.

Si usted piensa de Euler, ecuación de Navier-Stokes en el límite donde la viscosidad se desvanece $\nu \to 0$, entonces el momento de reversión de la simetría es simplemente espontáneamente rota. Mientras usted tiene un número finito de viscosidad en el sistema es disipativo y no debería ser ningún momento de reversión de la simetría. No creo que tal simetría puede simplemente pop-up como $\nu \to 0$ debido a que no contiene ningún continuamente ajustables parámetro.

En el caso de las Hamburguesas de la ecuación (ninguna presión plazo),

$\partial_t \mathbf{u} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = \nu \Delta \mathbf{u} \, ,$

cuando la viscosidad es pequeña, la mayor parte de la disipación ocurre en los choques. I. e. pequeñas regiones del espacio con fuertes gradientes del campo de velocidad. El campo de velocidad es casi en todas partes lisas, sino que salta casi de forma discontinua en la posición de la descarga. Usted puede leer más en http://arxiv.org/abs/0704.1611v1 y ver las imágenes en la wikipedia. Los amortiguadores son ciertas singularidades en el límite de $\nu \to 0$. Cuando hay un no-desaparición de la viscosidad se suavizan.

Esto explica por qué, incluso en el límite de $\nu \to 0$, las soluciones de Hamburguesas de la ecuación no son simétricos en virtud de inversión de tiempo. Todavía hay disipación. Es sólo ocurre en lugares que tienen un volumen de fuga.