¿Cuándo $(x^x)^x=x^{(x^x)}$ en los números Reales?

Question

He tratado de resolver esta ecuación:$(x^x)^x=x^{(x^x)}$ en los números reales I

sólo obtuvo $x=1,x=-1,x=2$ , hay otras soluciones ?

Nota: $x$ es un número real .

Gracias por su ayuda .

Answer 1

Sólo un boceto para $x>0$:

Deje $y=x^x$ y reescribir $x^y=y^x$ tomando $log$'s $\log (x)/x = \log(y)/y$.

Para cada una de las $x \in (1, e)$ hay un único, $y(x)$ tal que $f(x) = f(y(x))$.

Como una función de la $y(x)$, usted puede demostrar que es cada vez mayor. Por lo que estamos buscando soluciones de $y(x) = x^x$. Debido a $g(x) = y(x)-x^x$ es creciente, puede tener sólo una raíz. Tan sólo hay una positiva $x$ que satisface la ecuación con $x\neq 1$.

EDIT: Por entero $x < 0$ no entero, las cosas se complican porque vamos a involucrar a los números complejos y la crianza de los números complejos poderes.

Answer 2

Sugerencia: para $x>1$ $$x^{x^2} = x^{x^x}$$ $$x^2=x^x$$ $$2\log x=x\log x$$ $$x=2$$

Answer 3

Primero supongamos $x>0$. Toma de registros, $$x \log{x^x} = x^x \log{x}.$$ La aplicación de la propiedad $\log{a^b}=b\log{a}$ da $$x^2 \log{x} = x^x \log{x}.$$ Así que en este poing bien $\log{x}=0$ ( $x=1$ ) o $$x^2=x^x.$$ Tomando de nuevo los registros, $$2\log{x} = x\log{x},$$ y ya hemos establecido que la $\log{x} \neq 0$, lo $x=2$.

Bien, ahora vamos a pensar acerca de $x<0$. Tenemos $$(x^x)^x = x^{x^2},$$ y $x^2>0$. Dividiendo da $$1 = x^{x^x-x^2}$$ Bien, ahora vamos a engañar y escribir $x=e^{i\pi} r$, $r>0$. Entonces tenemos $$1 = (re^{i\pi})^{(re^{i\pi})^{re^{i\pi}}-r^2}.$$ Desde $r>0$, podemos, al menos, tire de ella fuera de las cosas... $$1 = (re^{i\pi})^{r^{-r}e^{-i\pi r}-r^2} = r^{r^{-r}e^{-i\pi r}}r^{-r^2}e^{i\pi (r^{-r}e^{-i\pi r})}e^{-i\pi r^2} = e^{r^{-r}(\cos{\pi r}-i\sin{\pi r})\log{r}} r^{-r^2} e^{\pi r^{-r}(i\cos{\pi r}+\sin{\pi r})} e^{-i\pi r^2}$$ Bueno, vamos a obtener un valor absoluto. $$1 = e^{r^{-r}\cos{\pi r}\log{r}} r^{-r^2} e^{\pi r^{-r}\sin{\pi r}}$$ Podemos feliz de tomar el registro de este: $$0 = (r^{-r}\cos{\pi r}-r^2)\log{r}+\pi r^{-r}\sin{\pi r} = r^{-r}(\cos{\pi r}\log{r}+\pi\sin{\pi r})-r^2\log{r}$$ El dominante término en el lado derecho es claramente $-r^2\log{r}$, y por lo tanto podemos ver que todas las raíces tienen pequeñas $r$ (basta con que $r^2\log{r}>\log{r}+\pi$ no posterior raíces, por ejemplo-y $3$ es más que suficiente). $r=1$ es claramente una raíz. Sin embargo, es claro que el lado derecho tiende a $-\infty$$r \to \infty$, y de un examen más cuidadoso muestra que también tiende a $-\infty$$r \to 0$. La función es analítica, por lo que sólo debe haber un número finito de raíces; en particular, el comportamiento sugiere un número par. Bueno, por lo que no tiene mucho: veamos el argumento. $$e^{-ir^{-r}\sin{\pi r}\log{r}} e^{i\pi r^{-r}\cos{\pi r}} e^{-i\pi r^2} = e^{i(\pi r^{-r}\cos{\pi r}-r^{-r}\sin{\pi r}\log{r}-\pi r^2)}$$ El factor exponencial debe ser un múltiplo de $2\pi i$.

Bien, en este punto me doy por vencido análisis y empezar a dibujar.

Registro del valor absoluto. Obviamente sólo dos raíces, una a $r=1$.

Argumento, con líneas de $2k\pi$. Obviamente la otra raíz en la antigua diagrama no tiene el argumento de la derecha. Por lo tanto $r=1$ ( $x=-1$ ) es la única raíz.

Answer 4

Ha $(x^x)^x = x^{x^2}$. Asumiendo $x \not \in \{-1,1,1\}$, $$x^{x^2} = x^{x^x}$$ que sucede si y sólo si los exponentes de acuerdo, es decir, $x^2 = x^x$ que bajo nuestra hipótesis es equivalente a $x=2$.