Demuestra que si f(x) es integrable, entonces también lo es e^(f(x)).

Question

Esta es mi pregunta:

Estoy trabajando en un problema de deberes que trata de la desigualdad de Jensen. Es una aplicación bastante simple, creo, pero estoy un poco atascado. Aquí está el problema, junto con mi trabajo.

Sea $f$ sea integrable sobre $[0,1]$ . Demuestre que

$\exp\left[\int_0^1 f(x) dx \right] \leq \int_0^1\exp[f(x)]dx$

A primera vista, esto parecía una simple aplicación de la desigualdad de Jensen, ya que $\phi (x) = e^x$ es convexa en $\mathbb{R}$ . Sabemos que $f$ es integrable, pero queda por demostrar que $\exp[f(x)]$ es integrable. Sé que la composición ( $\exp[f(x)]$ ) es medible, pero no creo que eso sea suficiente para concluir que es integrable.

Answer 1

$\exp(f(x))$ es una función medible no negativa, por lo que lo peor que puede pasar es que la integral sea $+\infty$ . Y esto sí es posible: Sea $f(x)=n$ si $\frac 1{n}-\frac1{n^3}<x<\frac1n$ con $n>1$ (y $0$ en caso contrario). A continuación, $$\int_0^1 f(x)\,\mathrm dx = \sum_{n=2}^\infty \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6-1$$ mientras que $$ \int_0^1 \exp{f(x)}\,\mathrm dx = \sum_{n=2}^\infty \frac{e^n}{n^3}$$ es infinito ( $e^n>n^3$ para $n$ suficientemente grande).

Answer 2

No hay forma de que puedas probar $e^{f(x)}$ es integrable sólo porque $f(x)$ es. Pero está bien, porque si $e^{f(x)}$ no es integrable, entonces el lado derecho es infinito, y la afirmación es obviamente cierta.

Para encontrar un contraejemplo, busque funciones de la forma $$ f(x) = 2^{\alpha k} \text{ if $ x \in (2^{-k+1},2^{-k}] $} .$$ Si $0 \le \alpha < 1$ entonces se ve fácilmente que es integrable.