Evaluar $\lim\limits_{n \to\infty} \left(\frac{n-1} {2n+2}\right)^n$

Question

¿Cuál es la manera más fácil de evaluar este límite? $\displaystyle{\lim_{n \to\infty} \left(n-1 \over 2n+2\right)^n}$ $$ \text{Es esto posible ?$\,$:}\quad \lim_{n \to\infty}\left(n/n - 1/n \más de 2n/n + 2/n\right)^n = \lim_{n \to\infty}\left(1 - 1/n \over 2 + 2/n\right)^{n} = \lim_{n \to\infty} \left(1 \over 2\right)^{n} = 0 $$

Answer 1

De límites sencillos como este, la manera más fácil es a menudo sandwich de la secuencia entre los más simples secuencias para las que el límite es conocido.

Observe que $n-1 \leq n$ $2n+2 \geq 2n$ implica $$ \frac{n-1}{2n+2} \leq \frac{1}{2} $$ así que para $n \geq 1$ uno tiene $$0 \leq \left(\frac{n-1}{2n+2}\right)^n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$$ Concluir con el teorema del sándwich.

Observación. Este método da más que el límite: se obtiene una buena estimación de la rapidez con la secuencia converge. Por ejemplo, ahora es fácil dar una $n$ tal que $\left(\frac{n-1}{2n+2}\right)^n \leq 10^{-100}$.

Answer 2

El límite puede ser escrito como $$\frac{\left(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^{-n}\right)^{-1}}{\lim_{n\to\infty} 2^n\cdot \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n}$$

Ahora uso $$\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac1m\right)^m=e$$

Answer 3

$0\le\left(\dfrac{n-1}{2n+2}\right)^n=\dfrac{1}{2^n}\times\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\le\dfrac{1}{2^n}\times\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\to0$ desde $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\to e$

Así que por apretar $\displaystyle{\lim_{n \to\infty} \left(n-1 \over 2n+2\right)^n}=0.$

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$ $$ \color{#0000ff}{\large\lim_{n \to\infty} \left(n - 1 \over 2n + 2\right)^{n}} = \lim_{n \to\infty}\bracks{{1 \over 2^{n}}\, {\pars{1 - 1/n}^{n} \\pars{1 + 1/n}^{n}}} = \lim_{n \to\infty}\pars{{1 \over 2^{n}}\,{\expo{-1} \over e}} = \color{#0000ff}{\large 0} $$

Answer 5

$$\frac{n-1}{2n+2} = \frac{1}{2}\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{2}\frac{2}{n+1}$$ $$\lim _{n \rightarrow \infty}(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1})^n$$ que es menor que el $\frac 1 2$ no lo vaya a $0$