Existencia de la descomposición de Jordan sobre campo finito

Question

Demostrar que sobre campo finito $\mathbb F$ existe la descomposición aditiva de Jordan-Chevalley: para toda matriz $M$ hay una matriz semisimple $M_{s}$ y la matriz nilpotente $M_{n}$ tal que $M=M_{s}+M_{n}$ .

He demostrado que $M^n=M^k$ para algunos $n,k \in \mathbb N$ como $\mathbb F$ es finito. Entonces, considerando $M$ es invertible obtenemos que $M^{n-k}=E$ . Pero, desafortunadamente, el polinomio $x^{n-k} - 1$ no es separable si $p|(n-k)$ . Si $n-k$ no es ni siquiera tenemos la descomposición $M=E + (M-E)$ . En caso de que $n-k$ es incluso $M-E$ no es nilpotente. Y me quedé atascado.

También lo demostré en casos característicos de polinomios $f$ de $M$ :

1)todas las raíces de $f$ pertenecen $\mathbb F$

2) $f=gh$ donde todas las raíces de $g$ pertenece $\mathbb F$ y $h$ es irreducible.

Answer 1

Pista : Ya que has demostrado que la descomposición de Jordan existe cuando $f$ se divide en $\mathbb{F}$ la misma prueba que encontraste debería funcionar cuando $f$ se divide en un campo $K$ . Así que tienes una descomposición de Jordan de $M$ en $K$ , donde $K$ es el campo de división de $f$ . Entonces utiliza el hecho de que como $\mathbb{F}$ es perfecto, puede estar seguro de que $K$ es una extensión de Galois de $\mathbb{F}$ . Hacer el grupo de Galois de $K$ en $\mathbb{F}$ actúa sobre esta descomposición para deducir que las matrices pertenecen realmente a $\mathbb{F}$ .