¿Existe una forma más eficaz de evaluar este límite?

Question

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-\arctan(x)}{x^2\ln(1+2x+x^2)}$$

Esta era una pregunta de opción múltiple, por lo que no debería llevarme tanto tiempo, pero la única forma que veo de atacarla es simplemente la regla de L'Hôpital varias veces, lo cual es muy ineficiente, ya que sigue aumentando y es más probable que cometa errores. El límite es $ \frac{1}{12} $ pero no estoy seguro de cómo mostrarlo. Si hay algún consejo útil para reducir la cantidad de cálculos y hacerlo más sencillo, se agradecería.

Answer 1

HINT

${\ln(1+2x+x^2)}=2\ln(1+x)$ y $\lim_{x\to 0} \frac{\ln (x+1)} x = 1$ por lo tanto:

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-\arctan(x)}{x^2\ln(1+2x+x^2)} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-\arctan(x)}{2x^2\ln(1+x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-\arctan(x)}{2x^3 \frac {\ln(1+x)} x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-\arctan(x)}{2x^3} \lim_{x\to 0} \frac 1 {\frac {\ln (x+1)}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-\arctan(x)}{2x^3}$

entonces usa L'Hospital o, incluso mejor:

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-\arctan(x)}{2x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-x + x -\arctan(x)}{2x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)-x} {2x^3} + \lim_{x\to 0} \frac{x - \arctan(x)} {2x^3}$

Answer 2

Utilice La fórmula de Taylor y equivalencia de funciones :

• $\sin x-\arctan x= x-\dfrac{x^3}6+o(x^3)-\Bigl(x-\dfrac{x^3}3+o(x^3)\Bigr)=\dfrac{x^3}6+o(x^3)\sim_0\dfrac{x^3}6$ ,
• $\ln(1+2x+x^2)=2\ln(1+x)=2x+o(x)\sim_02x$ , por lo que $$\frac{\sin(x)-\arctan(x)}{x^2\ln(1+2x+x^2)}\sim_0\frac{\dfrac{x^3}6}{x^2\cdot 2x}=\frac1{12}.$$

Answer 3

Si conoces la aproximación de desarrollo de Taylor, debes saber que la aproximación de primer orden de ambos $\sin x$ y $\arctan x$ son $x$ . Como ambas funciones son Impares, no hay término cuadrático, y la diferencia presentará un término cúbico si los coeficientes cúbicos son diferentes. Así que se puede esperar un numerador aproximado por $ax^3$ .

En el denominador, $\ln(1+y)$ produce $y$ para que $\ln(1+2x+x^2)$ produce $2x+x^2$ y otros términos (a partir del cuadrático). Junto con el factor $x^2$ la aproximación es $2x^3$ .

Por lo tanto, todo lo que necesitas son los coeficientes de Taylor de tercer orden, que tal vez sepas de memoria que son $-1/3!$ y $-1/3$ , dando el límite

$$\frac{-\frac16+\frac13}2.$$

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Si no conoce los coeficientes, derive tres veces

$$\sin x\to\cos x\to-\sin x\to-\cos x,$$ dando el coeficiente de Taylor $-1/3!$

Para la tangente del arco,

$$\arctan x\to\frac1{1+x^2}.$$ Puedes seguir evaluando las derivadas, pero es más fácil utilizar la fórmula de suma de series geométricas para escribir

$$\frac1{1+x^2}=1-x^2+\cdots$$ que se integra como

$$\arctan x=x-\frac{x^3}3+\cdots$$

Answer 4

Podrías reemplazar

$\ln(1+2x+x^2)=2\ln(1+x)\sim2x$ .

Answer 5

Podemos proceder de la siguiente manera \begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x - \arctan x}{x^{2}\log(1 + 2x + x^{2})}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x - \arctan x}{x^{2}\log(1 + x)^{2}}\notag\\ &= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - \arctan x}{x^{2}\log(1 + x)}\notag\\ &= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x - \arctan x}{x^{3}\cdot\dfrac{\log(1 + x)}{x}}\notag\\ &= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - \arctan x}{x^{3}}\notag \end{align} Ahora puedes utilizar la regla de L'Hospital o la aproximación de la serie de Taylor (siendo ésta más fácil) y obtener fácilmente la respuesta como $1/12$ .

Tenga en cuenta que siempre es una buena idea simplificar la expresión (cuyo límite se va a evaluar) mediante el uso de identidades (relacionadas con las funciones implicadas) y límites estándar como $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\log(1 + x)}{x} = 1$ o $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ antes de aplicar la técnica de la regla de L'Hospital o la serie de Taylor.