Matrices sobre $ \mathbb {Q}[x,y,z]$ que no son equivalentes

Question

Tengo algunos problemas para resolver la siguiente tarea:

Deje que $R = \mathbb {Q}[x,y,z]$ y: $$A = \begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \end {pmatrix} \in M_{2,2}(R) \qquad B = \begin {pmatrix} x & 0 \\ y & z \end {pmatrix} \in M_{2,2}(R).$$ Muestra que $A$ no es equivalente a $B$ es decir, no hay matrices invertibles $C,D \in M_{2,2}(R)$ de tal manera que $B=CAD$ .

Ya he intentado sustituir $C = \begin {pmatrix} a & b \\ c & d \end {pmatrix}$ y lo mismo para $D$ y luego sacar conclusiones de los productos de las matrices. Pero no fui capaz de encontrar algo útil.

Answer 1

Dejemos que $R'$ sea el ideal de $R$ generado por $x,y,z$ (en otras palabras, $R'$ son los polinomios en $R$ sin coeficiente constante). Bastará con demostrar lo siguiente :

Lema. Supongamos que $C,D$ son dos matrices en $M_{2,2}(R)$ tal que $CB=AD$ . Entonces $\det(C)$ y $\det(D)$ están en $R'$ en particular, esos determinantes no son invertibles en $R$ .

Prueba del lema Escriba $D=(d_{ij})_{1\leq i,j \leq 2}$ en la notación notación habitual. Comparando el $(1,2)$ -coeficientes en $CB$ y $AD$ vemos que que $(1) : xd_{12}+yd_{22}=c_{12}z$ . Así que $xd_{12}\in (y,z)$ y como $(y,z)$ es un ideal primo de $R$ con $x\not\in (y,z)$ vemos que $d_{12}\in (y,z)$ (gracias al usuario26857 por señalarlo) y por lo tanto $d_{12}\in R'$ . Del mismo modo, (1) obliga a $d_{22}\in R'$ . Así que $\det(D) \in R'$ . La prueba para $\det(C)$ es similar.