Hace la función de sinc tener ningún tipo especial de función inversa definida?

Question

Sabemos que $y=xe^x$ no puede ser resuelto por $x$ mediante funciones elementales.

El Lagrange inversión teorema se puede utilizar para la búsqueda de una "nueva" función que sería la función inversa de la ecuación anterior. Esta función especial se denomina "Función W de Lambert"

Así que para $y=xe^x$, $x=W(y)$.

Hay muchas ecuaciones que se pueden resolver a través de la Función W de Lambert. Sin embargo parece que algunas de las ecuaciones en la Óptica o la Teoría de Control, como $y=\dfrac{\sin x}{x}$ o $y=e^{-x}\cos x$ no puede ser resuelto con la Función W de Lambert.

Me pregunto si hay ya alguna de las ofertas, de Lambert-W-como, las funciones de los casos, o de sus funciones inversas todavía permanecen indefinidos.

Answer 1

Para que una función sea invertible debe ser monótona. y = $xe^x$ es monótona. Sin embargo, sinx/x y $e^{-x}$cosx son monótonas sólo en pequeños intervalos. Así que ciertamente no se puede tener un universal inversa para cualquiera de ellos.

Answer 2

¿Qué monotonía tiene que hacer con él? El pecado(x) la función no es monótona, incluso no 1:1, y sin embargo no es una función inversa de la función arcsen(x). Creo que no había necesidad lo suficiente como para darle un nombre a la inversa de la sinc(x) de la función. Realmente no importa, usted puede encontrar numéricamente lo que la función es sencilla. Si quieres darle un nombre, digamos, arcsinc(x), siéntase libre de hacerlo.

Answer 3

Mi intuición por la falta de inversos para sus dos funciones es que se tienen infinitas ramas, y las infinitas ramas no están en una relación simple. El contraste con la función W de Lambert, la cual tiene dos ramas, y $\sin^{-1}$ que las ramas están relacionados en bastante simple periódico manera.