Los números reales forman un espacio vectorial sobre los racionales (es decir, con Q como el escalar)

Question

¿Cómo se podría probar esto? Me gustaría que alguien simplemente me señale en la dirección correcta.

Answer 1

Para ver que $\mathbb R$ es un espacio vectorial sobre los números racionales, uno tiene que verificar que:

1. La suma de $\mathbb R$ es conmutativa, y que existe un elemento neutro.
2. Existe una operación bien definida de multiplicar un número real por un escalar racional.
3. La multiplicación escalar y la suma de vectores se comportan como deberían. (Es decir, $(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v)$, y ambas leyes distributivas.)

Pero la mayoría de estos son bastante triviales de verificar porque $\mathbb R$ es un cuerpo que extiende los números racionales.

Tenga en cuenta que aunque es tentador intentar probarlo encontrando una base para $\mathbb R$ sobre $\mathbb Q$ (es decir, una colección de números reales que abarque todo el campo, y que sea linealmente independiente sobre $\mathbb Q$), dicho conjunto es imposible de escribir "a mano". No hay una fórmula que lo exprese directamente, y solo podemos probar su existencia usando axiomas no constructivos de las matemáticas.

Answer 2

Siempre que $E\subseteq F$ sea una inclusión de campos, $F$ es naturalmente un espacio vectorial sobre $E. Los axiomas se verifican fácilmente.

Answer 3

Dado que cada campo es un espacio vectorial sobre su subcampo, por lo tanto F es un campo sobre E que es un subcampo de F