Cuando es el límite de una suma igual a la suma de los límites?

Question

Yo estaba tratando de resolver un problema y se quedó atascado en el paso siguiente:

Supongamos ${n \to \infty}$ .

$$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3} = 1$$

Permítanos reescribir $n^3=n \cdot n^2$ $n^2 + n^2 + n^2 + n^2 \dots +n^2$,$\space$ n veces.

Ahora tenemos

$$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3} = \frac {n^2 + n^2 + n^2 + n^2 + n^2 \dots +n^2}{n^3}$$

Como tengo entendido, siempre podemos reescribir el límite de una suma como la suma de los límites de ...

$$\dots = \lim \limits_{n \to \infty} \left(\frac{n^2}{n^3} + \frac{n^2}{n^3} + \dots + \frac{n^2}{n^3}\right)$$

...pero nosotros sólo vamos a ${n \to \infty}$ y calcular el límite si todos los límites individuales son de la forma definida (¿es correcto esto?). Ese sería el caso aquí, por lo tanto tenemos:

$= \dots \lim \limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}\right) =$[ dejar ${n \to \infty}]$ $= 0 + 0 + \dots + 0 = 0$

y los resultados que se obtienen no son los mismos.

¿De dónde me salen mal?

Answer 1

Debido a que el número de términos sube exactamente como el tamaño de cada término va hacia abajo.

Específicamente $$\lim \limits_{n \to \infty} \Big(\underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}}_{n\text{ times}}\Big) = \lim \limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac 1n$$

¿Eso ayuda?