Número de ceros consecutivos al final de 11 $ y ^ {100}-1$.

Question

¿Cuántos ceros consecutivos son hay al final de 11 $ y ^ {100}-1$?

Intento de

Ensayo y error en Wolfram Alpha muestra utilizando módulo muestra que hay 4 ceros (edit: 3 ceros, no 4). De lo contrario, no tengo ni idea siquiera dónde empezar.

Answer 1

11 $ y ^ {100} = (10 + 1) ^ {100} = \sum_ {k = 0} ^ {100} \binom {100} k10 ^ k = 1 + 100\cdot10 + 4950\cdot100 + 161700\cdot1000 + \ldots~$. Así, 11 $ y ^ {100}-1 = 1000 + 495000 + 161700000 + \ldots=162196000 + \ldots~$. Los términos restantes todos tienen factores de 10 ^ k$ algún $ $k\ge4 y por lo tanto tienen por lo menos cuatro ceros. Así, 11 $ y ^ {100}-1$ termina con tres ceros.

Answer 2

La mayor potencia de 2 en su factorización y encontrar el más alto poder de 5 en su factorización. Si se toma el mínimo de estos dos números, usted recibirá la más alta potencia de 10 en la factorización.

Ahora, para encontrar estas potencias más altas, como ya se ha mencionado, se utiliza el módulo.

$11 \equiv 1 \mod 2 dólares para que $11^{100} - 1 \equiv 1^{100} - 1 \equiv 0 \mod 2$

Por lo tanto, sabemos que contiene al menos uno de los 2.

$11 \equiv -1 \mod 4 de dólares para que $11^{100} - 1 \equiv (-1)^{100} - 1 \equiv 0 \mod 4$

Por lo tanto, contiene al menos $2^2$.

$11 \equiv 3 \mod 8 de dólares para que $11^2 \equiv 1 \mod 8 de dólares para que $11^{100} - 1 \equiv 1^{50} - 1 \equiv 0 \mod 8$

Por lo tanto, tenemos un total de $2^3$.

$11 \equiv -5 \mod 16 de dólares para que $11^2 \equiv 9 \mod 16 de dólares para que $11^4 \equiv 1 \mod 16 de dólares para que $11^{100} - 1 \equiv 1^{25} - 1 \equiv 0 \mod 16$.

Por lo tanto, tenemos un total de $2^4$. Nosotros definitivamente no tiene $2^5$ como

$11^2 \equiv -7 \mod 32 dólares para que $11^4 \equiv 17 \mod 32 dólares para que $11^8 \equiv 1 \mod 32 dólares para que $11^{100} - 1 \equiv 11^4 \cdot 11^{96} - 1 \equiv 17 \cdot 1 - 1 \mod 32 \equiv 16 \mod 32$.

Así, su respuesta es que en la mayoría de los 4. Ahora, hacer lo mismo por 5.

$11 \equiv 1 \mod 5 dólares para que $11^{100} - 1 \equiv 1^{100} - 1 \equiv 0 \mod 5$.

Por lo tanto, existe al menos un 5. Seguir adelante... los cálculos será más difícil a medida que sus poderes aumentan. O, usted podría hacer la misma cosa directamente con 10. Pero, los números serían más grande, mucho más rápido y por lo tanto los cálculos que podría ser más difícil.

Answer 3

Sabemos

si $$ord_{p^s}a=d, ord_{p^{s+1}}a=d\espacio o espacio \pd--->(1)$$ (Prueba)

y si $$ord_{(p^s)}(a)=d, ord_{p^{(s+1)}}(a)=ep, espacio\\espacio ord_{p^{(s+2)}}(a)=p^2d--->(2)$$(Prueba a continuación)

donde $p$ es cualquier extraño el primer y el $s$ es un número entero positivo .

11 $\equiv1\pmod 5\implica ord_511=1$

Pero $11\no\equiv1\pmod {25}\implica ord_{25}(11)\ne1\implica ord_{25}(11)=1\cdot 5=5$(con (1))

Así que, usando (2), $ord_{125}(11)=5\cdot 5=25$ que divide a $100\implica 125\mid(11^{100}-1)$

Utilizando de nuevo (2), $ord_{625}(11)=25\cdot 5=125$, que no divida a $100\implica 625\no\mid(11^{100}-1)$

Así, $5^3\mid\mid (11^{100}-1)$

Observar que $(11^2-1)\mid (11^{100}-1)$ y $(11^2-1)=120$ es divisible por $8=2^3$ y no es necesario para la prueba de los poderes superiores de $2$ Nos doe mocos necesario para la prueba de los poderes superiores de $2,$, ya que incluso si existen, no tienen $5$ para ser asociado.

Así, $10^3\mid\mid (11^{100}-1)$

[

La prueba de (2):

Deje de $ord_{(p^s)}(a)=d, ord_{p^{(s+1)}}(a)=ep$

Así, $a^d=1+cp^s$ para algunos positivo intger $c$

Si $p\mediados de c,^d\equiv 1\pmod{p^{(s+1)}}\implica ord_{p^{(s+1)}}(a)\mediados de la d$, que es imposible como $ord_{p^{(s+1)}}(a)=ep$

Así, $p\no\mediados de c$ es decir,$(c,p)=1$

Ahora, $a^{pd}=(a^d)^p=(1+cp^s)^p=1+\binom p 1cp^s+\binom p 2(cp^s)^2+\cdots+(cp^s)^p$ $\equiv 1+cp^{s+1}\pmod{p^{(s+1)}}$ si $1+2s\ge s+2$ es decir, si $s\ge 1$

Así, $a^{pd}\equiv 1+cp^{s+1}\pmod{p^{(s+1)}}\no\equiv1\pmod{p^{(s+1)}}$ como $p\no\mediados de c$

$\implica ord_{p^{(s+2)}}\ne pd\implica ord_{p^{(s+2)}}= p(pd)$ usando(1)

]

Answer 4

Con algo tan pequeño, si tienes acceso a una computadora, usted solo calcularlo. Esto no proporciona una idea de cómo resolver un problema mucho más grande, por supuesto, pero es absurdamente rápido por un problema de esta escala.

Mathematica:

In[0]:= 11^100 - 1

Out[0]= 
1378061233982227018411833717208963677626433120003846643314647\
75521549852095523076769401159497458526446000

Python:

>>> pow(11,100)-1
1378061233982227018411833717208963677626433120003846643314647
75521549852095523076769401159497458526446000L

Scala:

scala> (BigInt(11) pow 100) - 1
res1: scala.math.BigInt = 
1378061233982227018411833717208963677626433120003846643314647
75521549852095523076769401159497458526446000

scala> ((BigInt(11) pow 100) - 1).toString.
       reverse.takeWhile(_=='0').length
res2: Int = 3

Answer 5

Con la ayuda de elevación el lema del exponente:

$v_2 (11 ^ {100},-1) = v_2(11-1) + v_2 (100) = 5$

$v_5 (11 ^ {100},-1) = v_5(11-1) + v_5 (100) = 3$

Responder a $= 3$