$\pi$ en los números imaginarios?

Question

Mira el resultado de $(-1)^{1/10000000}$ en el google calculadora. Usted debe obtener la $$1 + 3.14159265 \times 10^{-7} i$$ ¿Por qué $\pi$ se producen en el imaginario número de operaciones que no incluyan $\pi$?

Answer 1

Usted sabe que $e^{i\pi}=-1$. Entonces :

$$(-1)^{\frac{1}{10^7}}=e^{\frac{i\pi}{10^7}} $$

desde $x:=\frac{i\pi}{10^7}$ es muy pequeño, usted puede aproximar $e^x$ $1+x$ por lo tanto :

$$(-1)^{\frac{1}{10^7}}=e^{x} \approx 1+x = 1+\pi.10^{-7}i $$

Answer 2

Me referiré a la fórmula de Euler $$e^{ix} = \cos x + i \sin x.$$ Hay muchas maneras de 'derivar' la fórmula, pero no voy a hacer la derivación. Usted puede encontrar su agradable derivaciones de Wikipedia.

En algunos libros de texto que definen la función exponencial $e^x$ otras maneras (por ejemplo, la serie infinita) y proporcionar su inverso $\ln x$. Si tenemos la función exponencial y la función logarítmica, podemos definir arbitraria como exponente $$a^x = e^{x \ln a}.$$ Esperamos que esta definición funciona para los números complejos. Por desgracia, un problema técnico que surge es: complejo logaritmo no está bien definida.

Se puede comprobar que $e^{i\pi} = e^{3i\pi} = -1$. Se dice que los posibles valores de $\ln(-1)$$\pi i$$3\pi i$. De hecho, $e^z = e^{z+2n\pi i}$ para todo entero $n$ y el complejo exponencial tiene un período de $2\pi i$. El problema es fácil de resolver: a pesar de que la función exponencial $\exp : \Bbb{C}\to\Bbb{C}-\{0\}$ no es uno-a-uno (por lo que no puede encontrar su inversa), su restricción en el conjunto de complejas $z$ $-\pi < \operatorname{Im}z \le \pi$ es bijective. Que nos llame a la inversa de lo $\operatorname{Ln} z$, y muchas calculadoras de adoptar la definición de logaritmo complejo.

Ahora podemos definir la exponencial compleja como $$a^z := e^{x\operatorname{Ln} a}.$$ Especialmente llegamos $(-1)^z = e^{\pi i z}$. Para los pequeños real $t$, $$(-1)^t = \cos (\pi t) + i \sin (\pi t) \approx 1 + i\pi t$$ (Para derivar última aproximación, considere la posibilidad de la expansión de Taylor de $\cos$$\sin$.) Esta es la razón por la que tiene el cálculo de resultados.

Answer 3

$$\left(-1\right)^{\frac{1}{10^7}}=\left(|-1|e^{\arg(-1)i}\right)^{\frac{1}{10^7}}=\left(e^{\pi i}\right)^{\frac{1}{10^7}}=e^{\frac{\pi i}{10^7}}=$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{10^7}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{10^7}\right)i\approx 0.999+3.1415\cdot10^{-7}i$$