¿Cómo es el ordinal $\omega_1$ definido? Sé que es un supremum de todos los ordinales, pero, a continuación, $\omega^\omega$ es también un supremum de todos los ordinales. ¿Cómo podemos distinguir estos dos números? Edit: el cambio de la pregunta de cómo $\omega^{\omega}$ puede ser demostrado contables, y cómo otras contables ordinales pueden ser mostrados para ser contable.
Respuestas
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$\omega^\omega$ es contable, debido a que se trata de una unión de una contables colección de conjuntos, cada uno de los cuales es en sí mismo contables: $$\omega^\omega = \bigcup_{i<\omega} \omega^i$$
Por lo que es suficiente para mostrar que:
- Una unión de una contables de la colección de conjuntos contables es contable.
- $\omega^i$ es contable, siempre que $i$ es finito.
(1) debe ser familiar para usted; es la costumbre de Cantor argumento para mostrar que los racionales son numerables. Si el contable de conjuntos de $S_0, S_1\ldots$ con elementos $S_i = \{s_{i0}, s_{i1}, \ldots\}$, entonces podemos enumerar la unión de la $S_i$$s_{00}; s_{10}, s_{01}; s_{20}, s_{11}, s_{02}; s_{30}, \ldots$.
(2) no es difícil; se puede demostrar que el producto de dos contable de conjuntos contables (esencialmente en el párrafo anterior) y, a continuación, muestran que desde $\omega^{i+1} = \omega\times\omega^i $, countability de $\omega^{i+1}$ sigue de la de $\omega^i$, lo cual es suficiente para establecer el resultado.
(Usted puede desear mirar la noción de cofinality. Un ordinal $X$ ha contables cofinality si es una contables de la unión de pequeños números ordinales. Si esos pequeños ordinales son en sí mismos contables, a continuación, $X$ es contable. Así que para mostrar que $\omega^\omega$ es contable, es suficiente para demostrar que se ha contables cofinality, lo cual se puede hacer la observación de que es la unión de los contables ordinales $\omega^i$ finitas $i$.)
A continuación, del mismo modo, si $C$ es algunas contables ordinal, $\omega^C$ es contable. Para que podamos escribir algunas contables secuencia $c_0, c_1,\ldots$ cuyo límite es $C$, y, a continuación, $\omega^C = \bigcup \omega^{c_i}$ manifiesta $\omega^C$ como una contables de la unión de conjuntos contables. Así que no sólo se $\omega$ $\omega^\omega$ contables, por lo que se $\omega^{\omega^\omega}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}} \ldots$. Y entonces podemos tomar la unión de los contables de la secuencia de conteo de conjuntos de $\omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}} \ldots$ y a la conclusión de que esta unión, generalmente por escrito $\epsilon_0$, es contable así.
$\epsilon_0$ tiene la propiedad de que es el menor ordinal $x$ que $x=\omega^x$. Hay una secuencia infinita de contables ordinales con esta propiedad, y su unión es todavía contables.
Hay muy pocos contables ordinales, y algunos de ellos son muy extraños monstruos. Véase, por ejemplo, la Iglesia de Kleene ordinal y la Feferman–Schütte ordinal.
DanV
Puntos
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Generalmente hablando, el mejor curso de acción cuando se trata de demostrar que $\alpha$ es una contables ordinal, es mostrar que:
- $\alpha = \delta+n$ donde $\delta$ es un ordinal límite (si $n=0$$\alpha=\delta$);
- $\delta$ es el límite de $\{f(\beta)\mid \beta<\gamma\}$ para algunos contable $\gamma$; y
- $f(\beta)$ es contable, es contable, siempre que $\beta$ es contable.
Por ejemplo, $\epsilon_0$ es el límite de $\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\omega^{\omega^{\omega^\omega}},\ldots$. Podemos demostrar que este es el límite de la función recursiva $f(n+1)=\omega^{f(n)}$$f(0)=\omega$. Podemos, además, muestran que si $\beta$ es contable, a continuación, $\omega^\beta$ contables (nota de que esta es una variable ordinal exponenciación) y, por tanto, $\epsilon_0$ es el contable límite de contables de los números ordinales y por lo tanto contables.
El mismo método puede ser aplicado a general ordinales, aunque la obtención de la $f$ es a menudo más difícil que en el caso de $\epsilon_0$.
Una limitación es que esto es cierto en ZFC, pero no necesariamente en ZF, donde una contables de la unión de contables ordinales pueden ser contables.
