Peskin eqn 7.2 contradicción

Question

Afirman $$\langle\Omega|\phi(x)|\lambda_{\bf p}\rangle=\langle\Omega|e^{iP\cdot x}\phi(0)e^{-iP\cdot x}|\lambda_{\bf p}\rangle \tag{7.4}$$ donde $|\lambda_{\bf p}\rangle$ es un estado de impulso ${\bf p}$. Luego reescribir esto como $$\langle\Omega|\phi(0)|\lambda_{\bf p}\rangle e^{-ip\cdot x}\tag{7.4}$$ with $p^0=E_p$.

Así que, básicamente, ha dicho $$\langle\Omega|e^{iP\cdot x}=\langle\Omega|.$$ This would be fine if the interacting vacuum had zero energy and momentum. It does have zero momentum but on page 86 they've defined $E_0=\langle\Omega| H|\Omega\rangle$, así que realmente me gustaría esperar $$\langle\Omega| e^{iP\cdot x}=\langle\Omega| e^{iE_0t}.$$

He tratado de ver lo que pasa si solo me resta el plazo $E_0$ desde el Hamiltoniano para dar a la interacción de vacío de energía cero. Resta del término de interacción, básicamente, me dio un infinito S-matriz, mientras que restar de la parte libre de da asintótica de los estados en el infinito de la energía negativa y parece estropear su prueba de la expresión de las dos punto correlacionador.

¿Qué debo hacer?

Answer 1

La respuesta corta: Peskin & Schroeder asumir que el vacío es invariante bajo traslaciones y transformaciones de Lorenz (lo que implica,$P^\mu|\Omega\rangle=0$). Alternativamente, la traducción de la invariancia implica $\vec P|\Omega\rangle=0$ en todos los marcos de referencia, y la combinación de esta con la invariancia bajo aumenta la da $P^0|\Omega\rangle=0$.

La menor respuesta corta: Desde P&S es perturbativa hasta el capítulo 7, una cosa que podría hacernos es: ¿cuáles son las interacciones, cuando se añade perturbativa a un determinado libres teoría, dará lugar automáticamente a la interacción suelo del estado de $|\Omega\rangle$ ser invariante de Lorentz. Teoría de la perturbación se supone que la interacción entre el estado del suelo $|\Omega\rangle$ se superpone con el vacío gratis $|0\rangle$, es decir,$\langle\Omega|0\rangle\neq 0$, así que vamos a establecer $|\Omega\rangle=a|0\rangle+b|\Delta\rangle$ donde$\langle \Delta|0\rangle=0$$a\neq 0$. Por definición de $|0\rangle$ y el 4-impulso para la libre la teoría de la $P_0^\mu$,$P_0^\mu|0\rangle=0$. El 3-impulso del operador para la interacción de la teoría general es el mismo que el de la libre teoría (sin duda, en la ausencia de derivados acoplamientos), así que primero vamos a suponer $\vec P|0\rangle=0$. Con el fin de tener $\vec P|\Omega\rangle = \vec p|\Omega\rangle$ $\vec p\neq 0$ necesitaríamos $\vec P|\Delta\rangle \propto |0\rangle$. Esto es imposible, sin embargo, debido a que el complemento ortogonal de $|0\rangle$ es preservada por $P_0^\mu$ ($\vec P$ no cambia el número de partículas). Junto con la invariancia de Lorentz, esto implica que $P^\mu|\Omega\rangle=0$ al $\vec P=\vec P_0$ perturbativa en el acoplamiento.

Un ejemplo de que la $\vec P \neq \vec P_0$ es efectiva el campo de la teoría de la dinámica de los electrones, que ignora los fotones. Aquí, hay una ambigüedad en el estado fundamental de la elección de los fotones del fondo de radiación que podrían proceder de una fuente lejana. Si el campo de fondo de fotones es lo suficientemente fuerte, entonces el 'estado de menor energía'* podría ser un thermalized 'gas' de pares electrón-positrón. El 'libre' teoría de los electrones (fermiones de Dirac) es de Lorentz-invariante, sino que la interacción de la teoría de las necesidades para incluir términos que cuenta cosas como finita de propagación de las veces (si el gas es lo suficientemente diluido). Esencialmente, hay un impulso almacenados en los fotones que no se contabilizan en el libre espacio de Fock de electrones.

En general, el estado puede diferir de la (interacción) de vacío de estado, de forma espontánea ruptura de la simetría de Lorentz y que conduce a una preferido marco. Ruptura espontánea de simetría de este tipo es necesario si $P^\mu|\Omega\rangle\neq 0$, y la preferida es la del uno en el que 3-impulso se desvanece. La invariancia de Lorentz puede ser roto en otras maneras también, por ejemplo, a través de una aspiradora con un valor distinto de cero carga electromagnética. Otros ejemplos se pueden encontrar aquí.

Answer 2

Tal vez estoy con vistas al verdadero problema aquí, pero no está claro que haciendo $$ H\rightarrow H+E_0 $$ tanto el vacío y la partícula estado energías obtener desplazado por la misma cantidad $$ H|\Omega\rangle = E_0\,,\qquad H|p\rangle =E_0+E_p $$ de modo que $E_0$ Se cancela $$ \langle\Omega|\phi(x)|p\rangle=e^{iE_0 t}\langle\Omega|\phi(0)|p\rangle e^{-i px}=\langle\Omega|\phi(0)|p\rangle e^{-i E_p t+i\vec{p}\vec{x}} $$ que es usted es libre de establecer $E_0=0$ sin afectar el resultado.

Por otra parte, restando un término constante desde el Hamiltoniano no puede dar una divergentes S-matrix porque simplemente escala todos los campos por la misma e idéntica fase, y en QM los estados se definen definen a una fase.