¿Por qué es $(2, 1+\sqrt{-5})$ no principal?

Question

¿Por qué es $(2, 1+\sqrt{-5})$ no principal en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$?

Decir $(2,1+\sqrt{-5})=(\alpha)$, entonces a partir de la $2\in(2,1+\sqrt{-5})$ tenemos $2\in (\alpha)$, lo $\alpha\mid2$$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$. Escrito $2=\alpha\beta$ $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ y tomando normas, $4=N(\alpha)N(\beta)$$\mathbb Z$, lo $N(\alpha)\mid4$$\mathbb Z$. Del mismo modo, desde la $\sqrt{-5}\in(\alpha)$ obtenemos $N(\alpha)\mid5$, lo $N(\alpha)$ es un divisor común de a$4$$5$, por lo $N(\alpha)=(1)$, lo $\alpha$ es una unidad. Pero eso significa que $1\in (2,1+\sqrt{-5})=(\alpha)$, por lo que debe ser el todo el anillo, pero no para llegar a una contradicción, entonces, ¿cómo puedo encontrar un elemento, que no es en $(2, 1+\sqrt{-5})$.

O es que hay un método más sencillo ? (Tal vez no UFD implicaría no PID)

Answer 1

En primer lugar, si el ideal de $(2, 1+\sqrt{-5})$ fueron las principales, generados por $\alpha$, $N(\alpha)$ dividiría $N(2)=4$$N(1+\sqrt{-5})=6$, por lo tanto se dividen $\operatorname{gcd}(4,6)=2$. No hay ningún elemento con la norma $2$, por lo tanto $N(\alpha)=1$, lo que significa que $\alpha$ sería una unidad; en otras palabras, tendríamos $$(2, 1+\sqrt{-5})=\mathbf Z[\sqrt{-5}].$$

Ahora $\mathbf Z[\sqrt{-5}]\simeq \mathbf Z[x]/(x^2+5)$. Por lo tanto
\begin{align*}\mathbf Z[\sqrt{-5}]/(2, 1+\sqrt{-5})&\simeq \mathbf Z[x]/(2,x+1,x^2+5)\simeq \mathbf Z_2[x]/(x+1,x^2+1)\\ &=\mathbf Z_2[x]/\bigl(x+1,(x+1)^2\bigr)=\mathbf Z_2[x]/(x+1)\simeq\mathbf Z_2. \end{align*}

Answer 2

Sugerencia $\,\ (2,1\!+\!w)\,=\, (\alpha) \,\Rightarrow\, (\alpha^2)\, =\, (2)\ \ $ al $\ \ w^2 =\, \color{#c00}{4n}\!-\!1\,\ $ [por ejemplo, $\ w^2=-5\ $ si $\ n=-1$]

desde $\smash[b]{\,\ (2,1\!+\!w)^2 =\, (4,2\!+\!2w,\color{#c00}{4n}\!+\!2w)\, =\, 2\!\!\!\!\underbrace{(\color{#0a0}2,1\!+\!w,2n\!+\!w)}_{\large\quad \color{#0a0}{2n}+1+w-(2n\,+\,w)\:=\,1}\!\!\!\!\! \!\!=\, (2)}$

mediante el uso de $\,\ (a,\,b)^2 =\, (a^2,\ ab,\ b^2)$

Answer 3

Sí, hay un método más sencillo, no es tan diferente de lo que has hecho hasta ahora, pero hay que tener en cuenta que hay todavía principales ideales, incluso si el dominio no es un director ideal de dominio. Por ejemplo, $\langle 5, \sqrt{-5} \rangle$ es un director ideal; un poco de pensamiento debe revelar que es generado por un solo elemento y es, de hecho,$\langle \sqrt{-5} \rangle$.

Así que si $\langle 2, 1 + \sqrt{-5} \rangle$ es un director ideal, deberíamos ser capaces de encontrar un solo elemento $x \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ a generar, un elemento que es no una unidad. No hay uno: $N(2) = 4$$N(1 + \sqrt{-5}) = 6$, como usted ya sabe, por lo que sería necesario para $x$ a satisfacer $N(x) = 2$, el cual, como también ya lo saben, no tiene soluciones.

Cabe señalar que $\sqrt{-5} \not\in \langle 2, 1 + \sqrt{-5} \rangle$. De hecho, este ideal no contiene ninguna con los números impares de la norma, lo que significa que no puramente real enteros impares. No hay ninguna combinación de $r, s \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ que le dará $2r + s + s \sqrt{-5} = 3$, por ejemplo, debido a $N(2r + s + s \sqrt{-5})$ debe ser par. Esto confirma que el $\langle 2, 1 + \sqrt{-5} \rangle$ no es todo el anillo.

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Puede ser útil para comparar similar ideal en un dominio similar: $\langle 2, 1 + \sqrt{5} \rangle$$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})}$. Como antes, $N(2) = 4$. Pero $N(1 + \sqrt{5}) = 4$. Esto puede o no puede estar en un PID (alerta de spoiler: lo es), pero este en particular ideal de un director de ideal, y de hecho, es $\langle 2 \rangle$ (compruebe que los familiares número $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$ es un entero algebraico).

Answer 4

Decimos $$ a + b\sqrt{-5} \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] $$ es "buena" si la paridad de los números enteros $a, b$ es el mismo.

Reclamo: todo en su ideal es buena. Es obvio que las cosas buenas son cerrados bajo tomando sumas de dinero, y es evidente que la multiplicación de algo arbitrario por 2 da algo bueno, así que sólo tienes que calcular que la multiplicación de algo arbitrario por $(1+\sqrt{-5})$ da algo bueno.

De hecho, $$ (a + b\sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5}) = (a - 5b) + (a + b)\sqrt{-5}. $$ y $(a-5b)$ $(a+b)$ tienen la misma paridad para cualquier $a, b$.

Por otro lado, hay malos elementos en el ring, por lo que su ideal no puede ser el todo el anillo. Bonus: demostrar su ideal es exactamente el conjunto de elementos buenos!