¿Por qué molestarse en demostrar que una clase es un conjunto?

Question

Fijar una teoría de conjuntos, digamos ZFC. Ahora supongamos que tenemos una declaración $P(x)$ escrito en el lenguaje de esa teoría, que tiene precisamente una variable libre $x$ . Podemos concebir la clase de todos los $x$ en el dominio del discurso tal que el enunciado $P(x)$ se mantiene. Entiendo que esta clase puede corresponder o no a un objeto en el dominio del discurso. Mis preguntas son las siguientes. En primer lugar, supongamos que hace corresponden a un objeto en el dominio del discurso, pues bien, ¿qué ganamos con demostrar que es así? Y en segundo lugar, si la clase de todos esos objetos no se corresponde con un objeto de nuestro dominio del discurso, ¿qué ganamos NO ¿se permite hacer con esta clase lo que quizás nos gustaría poder hacer?

En primer lugar, permítanme disculparme de antemano si mi conceptualización anterior es imprecisa o se basa en suposiciones falsas. Mi experiencia se limita a la teoría ingenua de conjuntos, y no tengo teoría de modelos en mi haber.

En segundo lugar, permítanme que les facilite el contexto de mi pregunta.

Supongamos que tengo una función unaria $f$ y quiero hablar del conjunto de todos los conjuntos que son cerrados con respecto a $f$ . Podríamos escribir esto como $\mathrm{clo}(f)$ . Tengo entendido que incluso si $\mathrm{clo}(f)$ se define sólo en funciones "pequeñas $f$ (es decir, aquellas funciones que están definidas por un conjunto de pares ordenados), no obstante $\mathrm{clo}$ va a ser "grande". ¿Será esto un problema?

Ahora las cosas se complican más. Quiero definir una función binaria $\curvearrowright$ tal que para cualquier objeto del dominio del discurso $x$ y cualquier función $f$ podemos escribir que $x \curvearrowright f = f(x)$ . Sin embargo, no quiero limitar esto a las funciones pequeñas $f$ . Por ejemplo, dejar que el objeto $x$ ser sustituido por una pequeña función $g$ y dejar que $f$ ser sustituido por la gran función $\mathrm{clo}$ Quiero ser capaz de escribir $g \curvearrowright \mathrm{clo}$ para el conjunto de todos los conjuntos que son cerrados con respecto a $g$ . ¿Se puede hacer esto sin introducir una contradicción?

Answer 1

Supongamos que estamos trabajando en ZFC. En este caso:

• No se permite cuantificar sobre clases que no son conjuntos.
• No podemos reunir clases propias en otras clases.
• No podemos decir que una clase "existe".
• No podemos usar clases como parámetros internamente .

Uno de los principales usos de la teoría de conjuntos es dar una base al resto de las matemáticas. Si no se puede decir que un objeto existe en su fundamento, ¿cómo se puede delegar en otras teorías? No se puede. Sólo puedes hablar de él como una construcción sintáctica, sin ningún significado semántico.

Si quiere definir la clase $\operatorname{clo}(f)$ y $f$ es una clase entonces su definición no está dentro de la teoría. Por supuesto, si no eres un teórico de conjuntos, probablemente te interesará tanto como saber que ahora mismo tengo hambre. Deberías saber, y probablemente lo sepas, que hay formas de evitarlo como las teorías de conjuntos de clases o los cardinales grandes.

Además, si se define la operación para las funciones de clase y se quiere hablar de la colección de "todas las funciones que tienen tal y tal cierre", sólo se puede hacer si estas funciones forman un conjunto. No se puede hablar de una colección de clases, ni en ZFC ni en NBG. Hay que dar un paso más para permitir $2$ -clases (clases de clases).

Esta forma de iteración puede durar un tiempo antes de que se asiente y te encuentres con un gran cardenal. Es algo necesario para algunas construcciones en las categorías, pero no siempre es necesario en caso contrario.

Su $\curvearrowright$ toma la entrada de una función y un conjunto. Si la función no es un conjunto, entonces $\curvearrowright$ no puede lo tome como entrada.

Answer 2

Una cosa que se puede hacer con un conjunto es ponerle una estructura poset y utilizar el lema de Zorn, que es una técnica muy poderosa para demostrar la existencia de ciertos objetos. La siguiente es una aplicación falsa del Lemma de Zorn que ilustra su utilidad y la necesidad de probar la existencia de un conjunto.

Supongamos que se quiere demostrar que cualquier campo $F$ tiene un cierre algebraico. Consideremos la colección de todas las extensiones algebraicas de $F$ y pedir esta colección por inclusión. Se ve fácilmente que todas las condiciones del lema de Zorn se cumplen y que un elemento maximal es un cierre algebraico. El único problema es que la colección no es un conjunto y, por tanto, esta demostración es errónea. Se puede corregir, pero requiere un poco más de trabajo para producir realmente un conjunto.

Ahora, el siguiente ejemplo muestra que se puede interpretar una variante muy similar de la "prueba" anterior que "demuestra" un sinsentido. Consideremos ahora la colección de todos los conjuntos y ordenémosla por inclusión. De nuevo, las condiciones del Lemma de Zorn se satisfacen fácilmente y un elemento maximal nos da ahora un conjunto con la propiedad de que no está contenido propiamente en ningún otro conjunto, lo que obviamente no tiene sentido.

Otra cosa que se puede hacer con un conjunto es utilizarlo para indexar otros conjuntos y luego tomar el producto cartesiano de la familia indexada. Si en cambio se utiliza una clase propia para indexar algunos conjuntos, el producto cartesiano puede existir o no y determinar si existe o no puede ser muy difícil. Este tipo de importancia en la distinción entre conjuntos y clases propias es muy general. De hecho, dada cualquier categoría pequeña es bien sabido que si la categoría admite productos categóricos arbitrarios (es decir, indexados por clases y no sólo por conjuntos) (de los cuales el producto cartesiano de conjuntos es un caso especial) entonces la categoría degenera en un poset. Este argumento muestra, pues, que en cualquier categoría que no sea un poset (la categoría de conjuntos es un ejemplo de categoría no poset) debe existir una familia propia de conjuntos indexada por clases que no tenga ningún producto en la categoría. Por el contrario, muchas categorías (incluida la de conjuntos) tienen la propiedad de que cualquier familia indexada de conjuntos tiene un producto en la categoría (más generalmente, todos los límites pequeños y colímitos existen en muchas categorías pero si todos los límites, o todos los colímitos, existen entonces la categoría debe ser un poset).