Forma de intersección en variedad cociente

Question

Tengo una pregunta simple de topología algebraica. Sean $M$ y $N$ variedades orientadas de dimensión 2 (digamos $H^{2}(M, \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}\alpha_{M}$ y $H^{2}(N, \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}\alpha_{N}$). Supongamos que un grupo finito $G$ actúa en $M$ y $N$ de tal manera que $G$ preserva la orientación de $M$ y $N$ y la acción inducida de $G$ en $M\times N$ no tiene puntos fijos. Entonces $$X=(M\times N)/G$$ es una variedad orientada de 4 dimensiones.

Me gustaría entender la forma de intersección en la cohomología intermedia $H^{2}(X, \mathbb{Z})$. Existe una correspondencia biunívoca entre $$H^{2}(X, \mathbb{Z}) \longleftrightarrow H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})^{G},$$ es decir, cualquier elemento $G$-invariante de $H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})$ desciende a $H^{2}(X, \mathbb{Z})$ y cualquier elemento de $H^{2}(X, \mathbb{Z})$ puede ser devuelto a $H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})^{G}$ por el mapa cociente. Dado que la acción de $G$ es libre, la forma de intersección en $H^{2}(X, \mathbb{Z})$ está dada por la forma de intersección en $H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})^{G}$ dividida por $|G|$. Por lo tanto, cualquier número de intersección en $H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})^{G}$ debe ser un múltiplo de $|G|$.

Por otro lado, tenemos que $$p_{1}^{*}(\alpha_{M}), \ p_{2}^{*}(\alpha_{N})\in H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})^{G}$$ (porque $G$ preserva tanto $M$ como $N$) y $$p_{1}^{*}(\alpha_{M})\cup \ p_{2}^{*}(\alpha_{N})=\alpha_{M\times N}$$ donde $p_{i}$ es la $i$-ésima proyección de $M\times N$ y $H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}\alpha_{M\times N}$. Esto significa que el número de intersección $p_{1}^{*}(\alpha_{M})\cup \ p_{2}^{*}(\alpha_{N})$ es 1, no divisible por $|G|$ (a menos que $G$ sea trivial).

¿Alguien podría señalar qué está mal con mi argumento?

Gracias de antemano.

Answer 1

¿Por qué no probar ambos argumentos en un ejemplo específico?

Toma $M = N = S^1\times S^1$ y $G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ actuando por $-1 *(\theta,\phi) = (\theta +\pi,\phi +\pi)$. Entonces esta acción es libre en cada uno de $M$ y $N$, por lo que la acción inducida en $M\times N$ ciertamente es libre.

En este caso, $(M\times N)/ G \cong (S^1)^4$, ya que, por ejemplo, $(M\times N)/ G$ es un grupo de Lie abeliano compacto. (Estoy seguro de que hay una manera fácil y directa de verlo).

Entonces, ¿qué te dan ambas computaciones? ¿Cuál de ellas debe estar equivocada?