Tengo una pregunta simple de topología algebraica. Sean $M$ y $N$ variedades orientadas de dimensión 2 (digamos $H^{2}(M, \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}\alpha_{M}$ y $H^{2}(N, \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}\alpha_{N}$). Supongamos que un grupo finito $G$ actúa en $M$ y $N$ de tal manera que $G$ preserva la orientación de $M$ y $N$ y la acción inducida de $G$ en $M\times N$ no tiene puntos fijos. Entonces $$ X=(M\times N)/G $$ es una variedad orientada de 4 dimensiones.
Me gustaría entender la forma de intersección en la cohomología intermedia $H^{2}(X, \mathbb{Z})$. Existe una correspondencia biunívoca entre $$ H^{2}(X, \mathbb{Z}) \longleftrightarrow H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})^{G}, $$ es decir, cualquier elemento $G$-invariante de $H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})$ desciende a $H^{2}(X, \mathbb{Z})$ y cualquier elemento de $H^{2}(X, \mathbb{Z})$ puede ser devuelto a $H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})^{G}$ por el mapa cociente. Dado que la acción de $G$ es libre, la forma de intersección en $H^{2}(X, \mathbb{Z})$ está dada por la forma de intersección en $H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})^{G}$ dividida por $|G|$. Por lo tanto, cualquier número de intersección en $H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})^{G}$ debe ser un múltiplo de $|G|$.
Por otro lado, tenemos que $$ p_{1}^{*}(\alpha_{M}), \ p_{2}^{*}(\alpha_{N})\in H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})^{G} $$ (porque $G$ preserva tanto $M$ como $N$) y $$ p_{1}^{*}(\alpha_{M})\cup \ p_{2}^{*}(\alpha_{N})=\alpha_{M\times N} $$ donde $p_{i}$ es la $i$-ésima proyección de $M\times N$ y $H^{2}(M\times N, \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}\alpha_{M\times N}$. Esto significa que el número de intersección $p_{1}^{*}(\alpha_{M})\cup \ p_{2}^{*}(\alpha_{N})$ es 1, no divisible por $|G|$ (a menos que $G$ sea trivial).
¿Alguien podría señalar qué está mal con mi argumento?
Gracias de antemano.
