Que es más fácil trabajar: determinante o inversa?

Question

Supongamos $A\in M_n(R)$ $n\times n$ de la matriz a través de algunas anillo de $R$. Cuál de las siguientes dos tareas es más fácil?

1. para trabajar $\det(A)$;

2. para trabajar $A^{-1}$.

Más específicamente, quiero saber las respuestas de acuerdo a las siguientes configuraciones diferentes de $R$:

1. $R$ es conmutativa;

2. $R$ es no-conmutativa.

3. $R$ es el anillo de grupo $\mathbb{Z}_n[\mathbb{G}]$ (1) conmutativa grupo $\mathbb{G}$, (2) no-conmutativa grupo $\mathbb{G}$.

Answer 1

Para el caso de anillos conmutativos, de la complejidad de un punto de vista teórico, calcular la inversa de una matriz, calcular el determinante de una matriz, y el cómputo de la multiplicación de la matriz, todos tienen la misma complejidad. Esto fue demostrado en los años 70 por Strassen, de la conocida Strassen la multiplicación. Que le da una complejidad de $O(n^{2.81})$ para las operaciones anteriores; el registro actual es, creo, $O(n^{2.38})$. Este es, por cierto, la complejidad se cuentan en las operaciones en $R$ y (tal vez) algunos logarítmica factores están siendo ignorados.

Como se ha mencionado en los comentarios, para los otros 2 casos la noción de determinante directamente no tiene sentido, por lo que necesita más aclaración.

Answer 2

Determinado viene primero, y generalmente más fácil de averiguar, por definición, no importa que R que estamos considerando. (especial situación existe cuando R es un campo distinto de un director ideal de dominio por lo tanto todos los nonsingular matriz tiene inversa)

Una matriz tiene inversa sólo si el determinar de la matriz es una unidad de x (inverso) en el anillo R, y su inversa ha de determinar $x^{-1}$ en R.

Cuando R no es p.yo.d.(el principal ideal de dominio), como $Z_n[G]$, entonces el concepto de determinante y la inversa no está bien definida, como la forma normal de un grupo no existe.

Answer 3

Recientemente, me doy cuenta de que la informática determinante podrían ser más difíciles de calcular la inversa. Ya que si las matrices se definen sobre un no-conmutativa anillo de $R$, la computación en la $\det(A)$ $A\in M_n(R)$ le parece muy duro. Sin embargo, vamos a $d=|M_n(R)|=|R|^{n^2}$. Es decir, la semigroup $M_n(R)$ con respecto a la multiplicación de la matriz es de orden $d$. Por lo tanto, $A^{d-1}=A^{-1}$, que puede ser trabajado de manera eficiente a cabo mediante el empleo de los llamados `cuadrado y multiplicar" método.